О КУРСЕ

Дисциплина «Математический анализ» относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла ООП бакалавриата и направлена на получение студентами прочных теоретических знаний и твердых практических навыков в области математической подготовки будущих бакалавров. Такая подготовка необходима для успешного усвоения многих специальных дисциплин, читаемых для бакалавров по направлению подготовки «Экономика». Дисциплина является одной из важнейших теоретических и прикладных математических дисциплин, определяющих уровень профессиональной подготовки современного бакалавра в области управления различными социально-экономическими процессами.  Прочное усвоение современных математических методов позволит будущему специалисту в области экономики, бухгалтерского учета, банковского дела, налогов и налогообложения решать в своей повседневной деятельности актуальные практические задачи, понимать написанные на современном научном уровне результаты других исследований и тем самым совершенствовать свои профессиональные навыки.

ЦЕЛЬ:

Целью изучения дисциплины «Математический анализ» является формирование научного мировоззрения у студентов, формирование математических знаний, умений и навыков, необходимых для изучения других общенаучных и специальных дисциплин, самостоятельного изучения специальной литературы, математического исследования прикладных вопросов, правильного истолкования и оценки получаемых результатов, а также формирование навыков самостоятельной работы.  Основной задачей изучения данной дисциплины является прочное усвоение студентами теоретических основ математического анализа, обучение использованию методов этой дисциплины в экономических исследованиях.  Задачи дисциплины:  понимание математики как особого способа познания мира, общности ее понятий и представлений;  понимание значения математических дисциплин, их месте в системе фундаментальных наук и роли в решении прикладных задач;  изучение фундаментальных разделов математики для дальнейшего их применения в профессиональной деятельности;  выработать у студентов навыки применения математического аппарата при исследовании различных экономических и управленческих задач;  развитие умения составить план решения и реализовать его, используя выбранные математические методы и модели;  развитие умения анализа и практической интерпретации полученных математических результатов;  выработка умения пользоваться справочными материалами и пособиями, самостоятельно расширяя математические знания, необходимые для решения прикладных задач.

ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ:

В результате изучения дисциплины студент должен:  Знать: основы математического анализа, необходимые для решения экономических задач.  Уметь: применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования для решения экономических задач.  Владеть: навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач, методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов. 

ЛОГИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА

В математике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение.

Математические символы: 

Например, применяя символ «>» к числам a, b, получим запись «a > b», которая является сокращением для предложения: «число aбольше числа b». Если l_1.,l₂  –  обозначения прямых, то запись  есть утверждение, что l₁ параллельна l₂ . Запись «x   M»означает, что x является элементом множества M.  Наряду с математической символикой в математике широко используется логическая символика, применяемая к высказываниям и предикатам.

Под высказыванием понимается предложение, которое либо только истинно, либо только ложно. Например, высказывание «–3 > 0»ложно, а высказывание «2×2 = 4» истинное. Будем высказывания обозначать большими латинскими буквами, возможно с индексами. Например, A = «–3 > 0», B = «2×2 = 4».

Предикат – это предложение с одной переменной или несколькими переменными. Например, предложение: «число x больше числа0» (в символах x > 0) является предикатом от одной переменной x, а предложение: «a + b = c» – предикат от трех переменных a, b, c.

Предикат при конкретных значениях переменных становится высказыванием, принимая истинное и ложное значение.

Будем обозначать предикаты как функции: Q(x) =«x > 0», F(x,b,c) = «x + b = c». 

Логические символы:

1.Отрицание применяется к одному высказыванию или предикату, соответствует частице «не» и обозначается   .

Например, формула   есть сокращение для предложения: «–3 не больше 0» («неверно, что –3 больше 0»).

2. Конъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «и», обозначается: А&B (или A  B).

Так формула (–3 > 0) & (2×2 = 4) означает предложение «–3 > 0 и 2×2 = 4», которое, очевидно, ложно.

3. Дизъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «или» (неразделительному) и обозначается A B .

Предложение: «число x принадлежит множеству M₁ или множеству M₂» изображается формулой:   .

4. Импликация соответствует союзу «если ..., то ...» и обозначается: A→B.

Так, запись «a > –1→ a > 0» есть сокращение для предложения «если a > –1, то a > 0».

5. Эквиваленция A↔B соответствует предложению: «A тогда и только тогда, когда B».

Символы  ,  называются кванторами общности и существования, соответственно применяются к предикатам (а не к высказываниям). Квантор   читается, как «любой», «каждый», «все», или с предлогом «для»: «для любого», «для всех» и т.д. Квантор читается  : «существует», «найдется» и др.

6. Квантор общности применяется к предикату F(x, ...), содержащему одну переменную (например, x) или несколько переменных, при этом получается формула xF(x,...), которая соответствует предложению: «для любого x выполняется F(x, ...)» или «все x обладают свойством F(x, ...)».

Например:  x(x > 0) есть сокращение для фразы: «любое x больше 0», которая является ложным высказыванием. Предложение:   a(a > 0→ a > –1) является истинным высказыванием.

7. Квантор существования, примененный к предикату F(x,...) соответствует предложению «существует x, такой, что F(x,...)» («найдется x, для которого F(x,...)») и обозначается:  xF(x,...).

Например, истинное высказывание «существует действительное число, квадрат которого равен 2» записывается формулой  x(x  R & x² = 2). Здесь квантор существования применен к предикату: F(x)=(x  R & x² = 2) (напомним, что множество всех действительных чисел обозначается через R).

Если квантор применяется к предикату с одной переменной, то получается высказывание, истинное или ложное. Если квантор применяется к предикату с двумя или большим числом переменных, то получается предикат, в котором переменных на одну меньше. Так, если предикат F(x, y) содержит две переменные, то в предикате  xF(x, y) одна переменная y (переменная x является «связанной», вместо нее нельзя подставлять значения x). К предикату   xF(x, y) можно применить квантор общности или существования по переменной y, тогда полученная формула  y  xF(x, y) или  y  xF(x, y) является высказыванием.

Так, предикат «|sinx| < a» содержит две переменные x, a. Предикат  x (|sinx| < a) зависит от одной переменной a, при a=1/2 этот предикат обращается в ложное высказывание   (|sinx| < 1/2), при а = 2 получаем истинное высказывание   x (|sinx| < 2).

Если к предикату  x (|sinx| < a) применить квантор существования, то получим формулу:  a  x(|sinx| < a), , выражающую истинное высказывание: «функция sinx является ограниченной».

Для некоторых формул введем сокращенную запись.

Так, вместо формулы  x(x  R & x² = 2) будем писать:  x  R(x² = 2),

вместо  x(x > 0 & x² + 3 = 4) пишем: x  > 0 (x² + 3 = 4).

Формулу  x (x   R → x² ≥ 0) сократим так:  x  R(x2 ≥ 0) и т.д.

Будем называть : x R, x>0 и т.д. ограниченными кванторами.

Несколько кванторов общности (существования) заменяем на один: вместо  пишем  вместо   будем писать   . 

МНОЖЕСТВА

Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение ему не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество – это совокупность, собрание каких-то объектов, предметов, при этом объект, входящий в это множество, называют его элементом. Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечно много элементов. Рассматривают и множество, не содержащее элементов, его называют пустым и обозначают символом Ø.

В математическом анализе чаще всего рассматриваются числовые множества, за некоторыми из них закреплены специальные обозначения. Так, множество всех натуральных чисел обозначаются через N и записывают так: N = {1,2,3,...}. Далее, через Zобозначают множество всех целых чисел, содержащее как натуральные числа, так и 0, и целые отрицательные числа; Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Рациональным называется число, которое можно представить в виде отношения двух целых чисел:  . Множество всех рациональных чисел обозначается через Q. Символически определение множества рациональных чисел можно записать так:  . Здесь знак  заменяет слово «называется». Заметим, что множество можно задать перечислением элементов, а можно описанием свойств элементов (предикатом), как в последнем случае.

Известно, что любое рациональное число можно представить десятичной дробью, конечной и бесконечной периодической. Например, рациональное число 5/6 представимо бесконечной периодической дробью 5/6 = 0,83333..., а число 3/8 = 0,375. В последнем случае можно считать десятичную дробь тоже бесконечной с числом 0 в периоде: 3/8 = 0,3750000... . Известно, что всякую периодическую бесконечную дробь можно обратить в обыкновенную дробь p/q.

Иррациональным числом называется всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь. Множество всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел и обозначается через R. Иными словами, множество действительных чисел R – это множество всех бесконечных десятичных дробей.

Пусть M1, M₂ – некоторые множества. Если каждый элемент множества M₁ является элементом множества M₂, то говорят, что M₁ есть подмножество множества M₂ и обозначается M₁ M₂. Итак, M₁  M₂ тогда и только тогда, когда 

Из определения числовых множеств можно заключить, что N Z, Z  Q, Q  R. Множество действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных (о которых мы сейчас говорить не будем), т.е. R  C.

Часто рассматриваются подмножества действительных чисел (a, b), [a, b], [a, b), (a, b] называемые, соответственно, интервалом, отрезком, полуинтервалом. Дадим символические определения этих множеств, а слово «называется» заменим на знак : .

Заметим, что на числовой оси каждое действительное число изображается определенной точкой и любая точка числовой оси задает некоторое число, поэтому [a, b] изображается множеством всех точек отрезка, вместе с концами a, b, в то время как (a, b) – множеством точек отрезка без концов a, b.

Объединение AUB, пересечение A∩B

Рассмотрим операции множеств A, B давая им символические определения:

Иногда рассматривается операция разности множеств A и B, это множество элементов A, не входящие в B. Обозначение: A\B. Таким образом,  . В частном случае R\Q есть множество иррациональных чисел. 

ФУНКЦИИ

Пусть x, y – переменные величины. Если каждому значению переменных x из множества A соответствует по определенному закону единственное значение переменной y, то говорят, что y является функцией (однозначной) от x и пишут y = f(x) или y = y(x). При этом переменную x называют аргументом или независимой переменной, множество A – областью определения функции y = f(x). Обозначим множество всех значений функции, т.е. {f(x)|x  A}, через B.

Пример 1. Для функции  область определения A = (–∞, –1] U [1, +∞), множество значений B = [0, +∞).

Пример 2. 

Замечание.  Иногда рассматривают многозначные функции, допуская, что каждому значению x  A, соответствует одно или более одного значений y. Мы в дальнейшем под функцией будем понимать однозначную функцию.

Следующие функции называются основными элементарными:

1) степенная функция    2) показательная функция    3) логарифмическая функция  4) тригонометрические функции    5) обратные тригонометрические функции 

Если y=f(x), z=g(y) - функции, то z=g(f(x)) сложная функция называется суперпозицией функций f и g.

Элементарной называется всякая функция, которая может быть получена из конечного числа основных элементарных функций с помощью арифметических операций и операции суперпозиции.

Например, элементарной является функция   В качестве примера неэлементарной функции укажем модуль действительного числа x 

Способы задания функции

Аналитический способ: связь между аргументом x и функцией y задается формулой, при этом на разных участках области определения она может задаваться различными формулами (см. пример 2) . В примерах 1, 2 функции заданы аналитически.

Табличный способ: функция задается таблицей отдельных значений аргумента и соответствующих значений функции. Такими являются таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.

Графический способ: в этом случае соответствие между значениями x и y задается с помощью графика.

Среди числовых функций особое место занимают функции с областью определения A = N. Пусть аргумент функции f(x) принимает только значения 1, 2, 3,....n,...  Обозначим f(1) = a₁, f(2) = a₂, ..., f(n) = a_n, ... Такую функцию называют последовательностью, a₁ – первый член, ..., a_n– n-й член этой последовательности.

Рассмотрим свойства, которыми могут обладать (или не обладать) некоторые функции.

Функция f(x) называется возрастающей на множестве M (строго), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Символически это может быть записано так:

Функция f(x) называется убывающей (строго) на множестве M, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Символически:

Функция, убывающая или возрастающая на множестве M, называется монотонной на множестве M.  В качестве примера рассмотрим функцию y = x². На интервале (–∞, 0) это убывающая функция, а на интервале (0, + ∞ ) – возрастающая.

Функция f(x) называется ограниченной сверху на множестве M, если существует такое число k, что для любого значения       x  M f(x) < k.  

Символически это может быть записано так: 

Аналогично дается определение функции, ограниченной снизу.

Если функция ограничена и сверху, и снизу, то она называется ограниченной.

Так, функция  ограничена снизу на множестве A (пример 1), а функция из примера 2 ограничена сверху на множестве R.

Функция f(x) называется четной, если  и называется нечетной, если  Например, функция y = x²является четной, а y = sinx – нечетной.  Функция f(x) называется периодической с периодом T (T ≠0 ), если 

Известно, что все тригонометрические функции являются периодическими.

Введем важные понятия сложной и обратной функции.

Если переменная y является функцией от x, y = f(x); а x – функция от переменной t: x = φ(t), то y = f(φ(t)) является функцией от t и называется сложной функцией или функцией от функции.

Например, пусть y = x², x = sint, тогда функция y = (sint)² является сложной.

Пусть y = f(x) с областью определения A и множеством значений B такова, что для любого значения y B существует единственное значение x  B, такое, что f(x) = y, тогда переменная x является функцией от y, обозначим x = φ(y). Эту функцию называют обратнойдля y = f(x). Для обратной функции x = φ(y) область определения B, а множество значений A. Иногда функцию, обратную к функции y = f(x), обозначают: x=f ^-1(y).

Например, для функции y = x² с областью определения [0, +∞) и таким же множеством значений обратной является функция:    В дальнейшем часто будет использоваться понятие абсолютной величины числа, а также понятие e – окрестности точки.

Абсолютной величиной числа a называется неотрицательное число, обозначаемое |a|, такое, что

Неравенство |x| < m ( m > 0 ) равносильно двойному неравенству –m < x < m, неравенство |x – x0| < ε (ε > 0) равносильно x0 – ε < x< x0 + ε. Множество точек с таким свойством (рис. 1.1) является интервалом (x₀ – ε, x₀ + ε) и называется ε – окрестностью точки x₀ (рис. 1.1). 

ПРЕДЕЛЫ

1.Пределы функции на бесконечности

Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа – понятие предела функции. Ввиду сложности для понимания этого понятия сначала дадим его описательное определение, подкрепленное примерами, а затем строгое определение.

Предел функции при x → +∞

Пусть функция y = f(x) определена на множестве всех действительных чисел R или на бесконечном интервале (a, +∞).  Число b называют пределом функции f(x) при стремлении x к +∞ (x→ +∞), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при достаточно больших x.

Обозначение:  .

Пример 1. Функция  определена на интервале (0, +∞). Составим таблицу ее некоторых значений и построим ее график (рис. 1.2):

x	1/2	1	3/2	2	5	10	20
y	4	3	2 2/3	2,5	2,2	2,1	2,05

Из таблицы видно, что значения функции приближаются к числу 2 с увеличением x.

Убедимся, что   .

Разность   показывает, на сколько отличается f(x) от 2. Так, если x равно 10, то f(x) отличается от 2 на 1/10, а если x = 100, то f(x) – 2 = 1/100. Разность f(x) – 2 может стать меньше любого заданного положительного числа ε, если x взять достаточно большим. Например, ε = 1/1000. Чтобы определить, для каких значений x выполняется неравенство f(x) – 2 < 1/1000, надо решить это неравенство:  , отсюда x > 1000.

Пусть ε – произвольное (малое) положительное число, тогда найдется такое x0, что f(x) – 2 x > x0. Действительно,   . Обозначив   , получаем, что для всех x, если x > x0, то f(x) – 2 < ε. Итак мы показали, что  .  Пример 2. Функция  определена на (–2, +∞). Выпишем таблицу ее некоторых значений и построим график (рис. 1.3).

Из таблицы значений и графика (рис. 1.3) видим, что с ростом x значения f(x) приближаются к 1, оставаясь меньше 1.

Покажем, что  . Разность f(x) – 1 отрицательна, поэтому вычислим ее абсолютную величину: 

Покажем, что |f(x) – 1| может стать меньше любого заданного положительного числа ε при достаточно больших x. Для этого решим неравенство   , получим:  Обозначим:  . Таким образом, если x > x₀, то   | f(x) – 1| < ε. Например, возьмем в качестве ε число 0,01, тогда:  Этим мы показали, что      (рис. 1.3). 

Дадим строгое определение предела функции при x→ +∞.

Число b называется пределом функции f(x) при стремлении x к +∞, если для любого положительного числа e найдется такое число x₀, что для всех x, больших x₀, выполняется неравенство: f(x) – b |

Геометрическая интерпретация этого определения приведена на рис. 1.4. В логических символах это определение выглядит так: 

Пример 3. Доказать, что    Доказательство:   . Зафиксируем произвольное ε > 0, покажем, что найдется такое x0, что для всех x, больших x0: | f(x) – 0 | < e. Действительно,   

Обозначим:   , тогда при x > x0: |f(x) – 0 | < ε, значит,   . 

Пусть для некоторой функции  , геометрически это означает, что точки графика y = f(x) приближаются к точкам прямой y = b (с той же абсциссой) при неограниченном возрастании x. В этом случае говорят, что прямая y = b является асимптотойграфика y = f(x) при x→ +∞.Неравенство: | f(x) – b | b – ε < f(x) < b + ε.

Из определения предела следует, что по произвольному ε > 0 найдется такое x₀, что для всех x, больших x₀, график y = f(x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми: y = b + ε, y = b – ε. 

Предел последовательности

Как отмечалось раньше, любая последовательность a₁, a₂, ..., a_n, ... есть функция натурального аргумента, a_n = f(n), n   N. Определение предела последовательности почти дословно повторяет определение предела функции при x→+∞.

Число b называется пределом последовательности {a_n}, если для любого ε > 0 существует такое натуральное число n0, что для всех натуральных n, больших n0, выполняется неравенство: | a_n – b | < e. Обозначение:   . Доказать самостоятельно, что  

Предел функции при x→ –∞

Пусть функция y = f(x) определена на R или (–∞, a). Число b называется пределом функции f(x) при стремлении x к –∞ (x → –∞), если для любого положительного числа ε существует такое x₀, что для всех x, меньших x₀, выполняется неравенство:  | f(x) – b | < ε. Обозначение: .

Геометрически этот факт означает, что точки графика y = f(x) (рис. 1.5) приближаются как угодно близко к соответствующим точкам прямой y = b при движении x влево неограниченно и что по фиксированному ε > 0 найдется число x₀, такое, что для всех x, меньших x₀, график y = f(x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми: y = b + ε, y = b – ε. 

Доказать самостоятельно, что

Рассмотренные пределы объединяются общим названием «пределы на бесконечности». Не надо думать, что любая функция, определенная на R, имеет предел при x → +∞ или x → –∞. Например, sinx не существует, так как значения  при неограниченном возрастании x периодически меняются от –1 до +1, не приближаясь ни к какому постоянному числу. Аналогично, не существует   . Последовательность: a₁= 1, a₂ = 3, a₃= 5, ..., an = 2n – 1, ... также не имеет предела.