Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями матриц являются:

• перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

• умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

• прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженные на одно и то же число. 

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. 

Произведение матриц  Произведением матрицы A = (a_ij) размера m×n и матрицы B = (b_ij) размера n×l называется матрица C = (c_ij) = A • B размера m×l, элементы которой определяются формулой:

.  То, что матрица C является произведением матриц A и B, записывается в виде C = A•B.  Заметим, что произведение матриц A и B определено только, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.  Вообще говоря, A•B≠B•A (даже для квадратных матриц одного и того же размера).  Если A•B = B•A, то матрицы называются перестановочными или коммутативными. 

• Умножение матриц ассоциативно, т.е. выполняется равенство (A•B)•C = A•(B• C) 

•  Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению, т.е. если определено выражение A•(B + C), то A•(B + C) = A•B + A •C. 

Возведение матрицы в натуральную степень.  Натуральная степень квадратной матрицы вычисляется по формуле:   

Определители

Пусть A = (a_ij) (i, j = 1, …, n) — квадратная матрица порядка n.  Определителем (или детерминантом) матрицы A называется число, которое ставится в соответствие этой матрице и может быть вычислено по ее элементам. Обозначается определитель матрицы A символами  Определитель матрицы n×n называется определителем n–го порядка.  Правило вычисления определителей  1. Определителем матрицы 1×1, состоящей из одного числа, будем считать само это число.  2. Определитель матрицы 2-го порядка вычисляется по формуле:

3. Определитель матрицы 3-го порядка

  вычисляется по правилу Саррюса: приписать к определителю справа два первых столбца, не меняя их порядка, и составить сумму произведений элементов главной диагонали и элементов, параллельных ей, из которой затем вычесть сумму произведений элементов побочной диагонали и элементов параллельных ей.

Чтобы сформулировать общее правило вычисления определителя, введем понятия дополнительного минора и алгебраического дополнения элемента матрицы:  Дополнительным минором M_ij элемента матрицы n–го порядка a_ij (i, j = 1, …, n) называется определитель матрицы n−1–го порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i–ой строки и j–го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.  Алгебраическим дополнением A_ij элемента матрицы n–го порядка a_ij (i, j = 1, …, n) называется число (−1)^{i + j} *М_ij, где M_ij — дополнительный минор.  Определитель матрицы A n-го порядка может быть вычислен по любой из формул:  разложение по i–ой строке

или  разложение по j–ому столбцу.  Свойства определителей

1. При транспонировании матрицы величина ее определителя не меняется, т.е. 

2. Отсюда следует, что любое утверждение, справедливое для столбцов определителя, справедливо также и для строк.

3. При перестановке двух столбцов (или строк) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

РАНГ МАТРИЦЫ

Основные понятия  Минором к-го порядка произвольной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо к строк и к столбцов.  Рангом матрицы А (rang A или r(A)) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.  Базисным минором называется любой из миноров матрицы А, порядок которого равен r (А).

Свойства ранга матрицы 

1.  Если матрица А имеет размеры mxn, то rang A   min(m;n);

2.  rang A =0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы А равны 0;

3.  Если матрица А - квадратная порядка n, то rang A = n тогда и только тогда, когда .

Элементарные преобразования  Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы:

1.  отбрасывание нулевой строки (столбца);

2.  умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю;

3.  изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

4. прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

5.  транспонирование матрицы.

С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду:  где    Ранг ступенчатой матрицы равен r.  Строки (столбцы) матрицы e_1, e₂,…,e_m называются линейно зависимыми, если существуют такие числа   не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:  , где 0 = (0,0,…,0). В противном случае строки матрицы называются линейно независимыми.

Теорема о ранге матрицы  Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов. 

Метод окаймляющих миноров  Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем:

1. Найти какой–либо минор М₁ первого порядка (т.е. элемент матрицы), отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица А нулевая и r(A) = 0

2. Вычислять миноры 2-го порядка, содержащие М₁ (окаймляющие М₁) до тех пор, пока не найдется минор М₂, отличный от нуля. Если такого минора нет, то r(A) = 1, если есть, то r(A)   2 и т.д.

3. Вычислять (если они существуют) миноры к-го порядка, окаймляющие минор М_к-1   0. Если таких миноров нет или они все равны нулю, то r(А) = k-1; если есть хотя бы один такой минор М_к  0, то r(A)  k, и процесс продолжается.

При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор к-го порядка, причем искать его только среди миноров, содержащих минор М_к-1 0 .