Прямая линия на плоскости

В декартовой системе координат на плоскости каждая прямая определяется уравнением 1–й степени и, обратно, каждое уравнение 1–й степени определяет прямую.  Уравнение вида Ax + By + Cz = 0 называется общим уравнением прямой.  Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (b — ордината точки пересечения прямой с осью OY).Угловым коэффициентом k прямой называется число k = tgα , где α — угол наклона прямой к оси OX (0 ≤ α < π).  Уравнение прямой  называется уравнением прямой в отрезках (a — абсцисса точки пересечения прямой с осью OX, b — ордината точки пересечения прямой с осью OY).  Уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), имеет вид   .  Угол между прямыми с угловыми коэффициентами k1 и k2 определяется формулой:  Условие параллельности прямых: k1 = k2  Условие перпендикулярности прямых: k1k2 = −1

Матрицы

Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:    Числа a_ij (i = 1, …, m, j = 1, …, n) называются элементами матрицы A. Первый индекс обозначает номер строки, второй — номер столбца, в которых находится данный элемент.  Матрицы можно обозначать также A = (a_ij) (i = 1, …, m, j = 1, …, n).  Элементы a_ii (i = 1, …, min{m, n}) называются диагональными, а их совокупность — главной диагональю матрицы A.  Матрица размера 1×n называется матрицей–строкой, а матрица размера m×1 называется матрицей–столбцом.  При m = n матрица называется квадратной матрицей порядка n.  Квадратная матрица A = (a_ij) называется диагональной, если все ее элементы, кроме диагональных, равны нулю, т.е. a_ij = 0 i≠j.

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие на главной диагонали, равны единице, а остальные — нулю, т.е. матрица вида  называется единичной матрицей.  Для любой квадратной матрицы A выполняется условие: A•E = E•A = A , где E — единичная матрица того же порядка, что и A. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой  и обозначается О. 

В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрицы A = (a_ij) и B = (b_ij) называются равными, если они одного и того же размера m×n и i = 1, …, m, j = 1, …, n a_ij = b_ij.  Матрица B = (b_ij) размера n×m называется транспонированной по отношению к матрице A = (a_ij) размера m ×n, если i = 1, …, m и j = 1, …, n имеем b_ij = a_ji, т.е.

Транспонированная матрица обозначается символом A^T.  Квадратная матрица A называется симметричной, если A^T = A.

Действия над матрицами Сложение матриц  Суммой матриц A = (a_ij) и B = (b_ij) одного и того же размера m×n называется матрица того же размера C = (c_ij), элементы которой определяются формулой  То, что матрица С является суммой матриц А и В, записывается в виде С=А+В.  Матрица X такая, что X + A = O, называется противоположной матрице A и обозначается символом −A. Пусть A и B — матрицы размера m×n.  Матрица C = A + (−B) называется разностью матриц A и B и записывается в виде C = A −B.  Для любых матриц A, B и C одного и того же размера m×n:

•  A + B = B + A;

•  (A + B) + C = A + (B + C); 

•  если O — нулевая матрица размера m×n, то A + O = A; A + (−A) = O. 

Умножение матрицы на число  Произведением матрицы A = (a_ij) размера m×n и вещественного числа α называется матрица того же размера C = (c_ij), элементы которой определяется формулой  c_ij = αa_ij (i = 1, …, m, j = 1, …, n)  То, что матрица C является результатом умножения матрицы A на число α, записывается в виде C = αA.  Для любой матрицы A и любых чисел α, β  R:

•  1•A = A; 

•  α(βA) = (αβ)A. 

Для любых матриц A и B одного и того же размера и любых чисел α, β   R:

•  (α + β)A = αA + βA; 

•  α(A + B) = αA + αB. 

Операции сложения и умножения на число называют линейными операциями.