3. Векторы образуют правую тройку, т.Е. Из конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден против часовой стрелки.

Замечание. Это определение однозначно определяет векторное произведение ненулевых векторов. Если хотя бы один из сомножителей — нулевой вектор, то векторное произведение считается равным нулевому вектору.  Из определения векторного произведения следует, что    для любого вектора  Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.  Свойства векторного произведения векторов  Для любых векторов    и любых чисел α, β:

Условие коллинеарности векторов: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е.   (нулевой вектор можно считать коллинеарным любому вектору).  Если заданы координаты перемножаемых векторов, то векторное произведение можно представить в виде: 

Смешанное произведение

Смешанным произведением векторов  называется число, обозначаемое   и определяемое равенством  т.е. векторное произведение двух векторов    умножается скалярно на третий вектор    .

Геометрический смысл смешанного произведения: смешанное произведение векторов   равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах, взятому со знаком «+», если тройка векторов   — правая, и со знаком «−», если тройка векторов — левая.  Свойства смешанного произведения векторов

1. Условие компланарности векторов: три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

2.  

3. 

4. 

Если координаты векторов заданы, то смешанное произведение можно представить в виде:

Системы координат

Декартова система координат определяется некоторой ее точкой O и базисом из двух векторов, параллельных плоскости. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенные через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Они лежат в плоскости и называются осями абсцисс и ординат. Каждая ось координат является числовой осью с началом в точке O, положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора.  Координатами точки M называются координаты вектора OM (радиус–вектор точки М)   Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.  На плоскости часто употребляется также полярная система координат

  Она определяется точкой O, называемой полюсом, и лучом, исходящим из полюса, называемым полярной осью. Полярными координатами ρ и φ точки M называются расстояние ρ от полюса до точки M (ρ = |OM|) и угол φ   между полярной осью и вектором OM . Угол φ называется полярным углом, измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Полярные координаты точки O: ρ = 0, угол φ  не определен. У остальных точек ρ > 0 и угол φ  определен с точностью до 2π. Обычно полагают 0 ≤ φ < 2π или − π < φ ≤ π.  Если полюс совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, а полярная ось — с положительной частью оси абсцисс, то декартовы координаты x и y точки M выражаются через ее полярные координаты ρ и φ  формулами  x = ρcosφ

y = ρsinφ .  Полярные координаты ρ и φ  точки M выражаются через ее декартовы координаты x и y формулами: