Решение.

Отсюда эскиз графика:

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
7	Полное верное решение.
6	Решение содержит вычислительные ошибки, не влияющие на принципиальное изображение эскиза.
5	Построен эскиз графика, но не выколота одна из двух его точек.
4	Построен эскиз графика, но не выколоты 2 его точки.
3	Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
2	Правильно раскрыт знак модуля, с указанием при каких x не определена функция.
1	Правильно раскрыт знак модуля, без указания при каких x не определена функция.
0	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0	Решение отсутствует.

Задача № 3: Решите систему уравнений:

Ответ: a=3; x=2,2; y=0,2

Вычтем из уравнения (1) уравнение (2)

Отсюда а=3.

Таким образом, система принимает вид:

Выполнив вычитание (3)-(2), получаем у=0,2.

Подставив найденное значение у в уравнение (2), получим х=2,2.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
7	Полное верное решение.
6	Решение содержит пробелы в обоснованиях.
5	Решение доведено до конца, но содержит вычислительную ошибку.
3	Найдено значение х или у.
2	Верно найдено значение а.
1	Получена система двух уравнений с двумя неизвестными.
0	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0	Решение отсутствует.

Задача №4: При каких значениях параметра m уравнение

Решение.

ОДЗ: х

1-й случай. Если 3m-2=0, то m = имеем m + 2 = +2 В этом случае в левой части преобразованного уравнения будет выражение, отличное от нуля при любом х из ОДЗ уравнения, а в правой части – нуль. Следовательно, при m = данное уравнение решений не имеет, то есть m =

2-й случай. 3m-2 . Тогда х² = Так как х≠0, то полученное уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда х² Решая это неравенство, получим -2 m .

Так как в первом случае показано, что m = , также удовлетворяет условию задачи, то получим

Ответ: m∈ [-2; ].

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
7	Полное верное решение.
6	Решение содержит пробелы в обоснованиях.
5	Решение содержит вычислительные ошибки, но в целом верно.
4	Верно рассмотрен один из двух случаев.
3	Верно проведено преобразование уравнения.
2	Верно проведено преобразование уравнения без указания ОДЗ.
1	Верно указано ОДЗ.
0	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0	Решение отсутствует.

Задача № 5: Середина ребра SA треугольной пирамиды SABC равноудалена от всех вершин пирамиды. Пусть SH - высота пирамиды. Докажите, что

BA² +ВН² = СА² +СН².

Первое решение. Пусть М - середина ребра SA. Так как МА = MS = МС, то в треугольнике ASC медиана МС в два раза больше стороны AS, к которой она проведена. Значит, треугольник ASC - прямоугольный с гипотенузой AS (см. рис.). Аналогично, треугольник ASB - прямоугольный с гипотенузой AS. Поэтому

AS² = ВА² + SB² = СА² + SC². Но SC²=CH²+SH² и SB²=BH² + SH². Подставив в предыдущее равенство, получим BA²+ВН²+ SH² =СА²+СН²+SH². Вычтя из обеих частей равенства SH, получим требуемое.

Второе решение. Пусть М - середина ребра SA, а точка О - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость АВС. Тогда МО - средняя линия треугольника SAH , поэтому точка О - середина отрезка АН . Из равенства прямоугольных треугольников АМО, ВМО и СМО с общим катетом ОМ и равными, по условию, гипотенузами АM, ВМ и СМ, получаем, что ОА = ОВ = ОС. Значит, точка О является центром окружности, описанной около треугольника АВС, а тогда АН - диаметр этой окружности. Значит, углы АВН и АСН - прямые. Применив теорему Пифагора к треугольникам АВН и АСН, получаем утверждение задачи.

Замечание. Другое доказательство того, что / ABS= ⁼/ ACS =90°, основано на том, что точка М является центром сферы, описанной около пирамиды, а тогда отрезок SА - диаметр этой сферы.

Баллы	Правильность (ошибочность) решения
7	Полное верное решение.
5-6	Решение содержит пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
2-3	Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
1	Верно выполнен чертеж к задаче.
0	Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0	Решение отсутствует.

Задача № 6: У Пети имеется 50 шариков трёх цветов: красные, синие и зелёные. Известно, что среди любых 34 шариков есть хотя бы один красный; среди любых 35 шариков – синий; среди любых 36 шариков – зелёный. Сколько шариков зелёного цвета может быть у Пети?