Теоремы подобия. Критерии подобия.
Очевидно, что подобные явления должны принадлежать лишь к одному классу, т.е. описываться одной и той же системой дифференциальных уравнений. Если применить дифференциальные уравнения к образцу и модели, то можно получить некоторые условия, которым должны удовлетворять константы подобия. Эти условия обеспечивают удовлетворение переменных образцового явления и переменных модельного явления одному и тому же уравнению.
Переменные образцового явления обозначим
,
а переменные модельного явления обозначим
. Запишем, для примера, одно из уравнений
Навье – Стокса для образцового явления
|
(16.9) |
Для явления, протекающего в модели, но подобного образцовому, должны выполняться зависимости, содержащие константы подобия
|
(16.10) |
Уравнение (…) для модели имеет вид аналогичный, но относительно других переменных
|
(16.11) |
Подставляя (16.10) в уравнение (16.11) и
учитывая, что константы подобия
постоянны и при дифференцировании
выносятся за знак дифференциала, получим
|
(16.12) |
Результат (16.12) показывает, что для совместности уравнений (16.9) и (16.11), т.е. для того чтобы переменные первого и второго явлений удовлетворяли бы одному и тому же дифференциальному уравнения, должны удовлетворяться следующие равенства
|
(16.12) |
Разделив равенство (16.12) на
,
получим
|
(16.12) |
Поменяв числитель и знаменатель в первом и последнем отношениях местами, получим
|
(16.12) |
Используя определения констант подобия (16.10), найдем комплексы величин, которые, в соответствующих точках образца и модели, должны быть одинаковыми
|
(16.12) |
Величины
называют
критериями подобия или числами подобия
(не путать с константами подобия).
критерий гомохронности;
критерий Фруда,
критерий Эйлера;
критерий Рейнольдса.
Критерии или числа подобия позволяют сформулировать следующие теоремы подобия:
Первая теорема подобия: у подобных явлений для любой пары сходственных точек критерии подобия численно одинаковы.
Так как отдельные явления различаются между собой лишь условиями однозначности (начальными и граничными условиями), то если условия однозначности сделать подобными, подобными окажутся и сами явления, если они описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями.
Но для подобия условий однозначности достаточно соблюсти равенство критериев подобия, составленных лишь из величин, входящих в условия однозначности. Поэтому можно сформулировать следующее утверждение, известное, как третья теорема подобия: подобны те явления, условия однозначности которых подобны, а критерии подобия составленные из величин, входящих в условия однозначности, равны.
Значение этой теорем состоит в том, что
она обосновывает моделирование явлений.
Чтобы модель была подобна образцу,
достаточно осуществить пропорциональность
всех величин на границе явления и в
начальный момент времени, выбрав эти
величины так, чтобы критерии, составленные
их них, были численно равны для
соответствующих точек модели и образца.
Например, при течении жидкости в гладкой
круглой трубе в условия однозначности
входят
.
Поэтому для подобных явлений должно
выполняться условие
или
.
Все критерии, полученные из данной системы уравнений, можно разбить на две категории. К первой категории относятся критерии, составленные из величин, входящих в условия однозначности. Эти критерии называют определяющим, так как они определяют достаточные условия подобия. Ко второй – все остальные критерии, получающиеся из системы уравнений. Их называют неопределяющими.
Если значения определяющих критериев у двух явлений в соответственных точках равны, то явления подобны. Если они подобны , то по первой теореме подобия они имеют в соответственных точках одинаковые значения всех критериев, независимо от того, к какой из двух категорий они относятся. Отсюда следует, что равенство определяющих критериев имеет следствием равенство всех остальных критериев. Это, в свою очередь, означает, что между определяющими и неопределяющими критериями существует функциональная зависимость.
В самом деле, если от одних значений
определяющих критериев перейти к другим,
то это будет означать переход от одной
группы подобных явлений к другой. При
этом неопределяющие критерии получат
какие-то новые единственные значения.
Таким образом, каждый неопределяющий
критерий есть однозначная функция
определяющих критериев. Например, если
определяющим критерием является критерий
Рейнольдса, то критерий Эйлера будет
его функцией
.
Вид этой функции может быть найден из
опыта. Если эта зависимость представлена
в виде графика, то каждая точка на этом
графике будет отвечать целой группе
подобных явлений, для которых
,
а вся кривая будет соответствовать
серии групп.
Между тем каждая точка может быть получена в результате единичного опыта, а вся кривая – в результате серии экспериментов на одной установке.
Таким образом, результаты небольшого числа экспериментов можно обобщить на целую группу явлений и получить решение или интеграл дифференциального уравнения в виде критериального уравнения, что соответствует второй теореме подобия: решение системы дифференциальных уравнений может быть представлено в виде функции между критериями подобия этой системы.
Это позволяет не интегрировать систему дифференциальных уравнений, а получить ее интеграл в виде критериального уравнения из опыта.