Жидкость в сосуде, перемещающемся прямолинейно и равноускоренно
Эта задача связана с доставкой жидкости автомобильным или железнодорожным транспортом в цистернах, когда транспортное средство разгоняется или останавливается. Изменение положения свободной поверхности жидкости при таком движениях необходимо принимать во внимание проектируя место расположения заправочной горловины и ее высоту. Рассмотрим задачу при горизонтальном движении сосуда с жидкостью (рис.4.2).
|
() |
Рис. 4.2
Свяжем подвижную систему координат xy с нижней и левой стенками сосуда. Интенсивность массовых сил по координатным осям, включая и силу инерции, равна
|
(4.21) |
;
;
,тогда на поверхности равного давления имеем
|
(4.22) |
.После интегрирования получаем уравнение поверхности постоянного давления
|
(4.23) |
.
Константу
интегрирования
легко найдем из граничного условия.
Если
=0,
то координата
=
,
что дает
и уравнение свободной поверхности, как
одной из поверхностей постоянного
давления принимает вид
|
(4.24) |
.
Найти значение
в конкретной задаче можно из условия
равенства объемов, занимаемых жидкостью
при движении с постоянной скоростью
(
=0)
и при движении с заданным ускорением
(
≠0).
Эта задача решается очень просто, если
сосуд представляет по геометрической
форме прямоугольный параллелепипед.
Теперь определим
давление в произвольной точке А(
).
Из условия равновесия
|
|
с учетом (4.21) последовательно находим
|
|
|
(4.25) |
,
.
Если - глубина погружения точки от границы свободной поверхности (см. рис. 4.2), то
|
|
.На свободной поверхности = , следовательно
|
(4.26) |
,откуда с учетом (4.24) находим
|
(4.27) |
.
Подстановка (4.27)
в (4.25) при
дает
|
(4.28) |
.Давление в точках жидкости под свободной поверхностью распределяется по гидростатическому закону.
При необходимости давление в точке можно рассчитать по ее координатам ( ) и известному значению
|
(4.29) |
.
Гидростатический парадокс
Рассмотрим сосуды различной формы, заполненные жидкостью до одного уровня (рис.4.3). Определим силу гидростатического давления на плоское основание во всех сосудах при условии, что их площадь одинаковая.
|
|
Рис. 4.3
Давление во всех точках плоского днища со стороны, заполненной жидкостью,
, |
|
а равнодействующая сила равна
|
(4.30) |
.Как следует из формулы (4.30) силы воздействия на дно сосуда во всех случаях одинаковые и не зависят от веса жидкости в сосуде, а вот воздействие на опоры будет определяться весом жидкости в сосуде. Этот факт и получил название гидростатического парадокса.