Сила давления покоящейся жидкости на цилиндрическую стенку

Определение сил давления на цилиндрические стенки имеет важное значение, так как в гидротехнических сооружениях часто используют конструкции с такими поверхностями (водонапорные баки, вальцовые, секторные и сегментные затворы).

Рассмотрим цилиндрическую стенку, находящуюся под односторонним воздействием покоящейся жидкости и определим равнодействующую сил избыточного давления (рис.3.2).

На площадке , расположенной на глубине , избыточное давление имеет равнодействующую . Очевидно, что , . Зная, что , находим составляющие равнодействующей сил избыточного давления:

(3.10)

	(3.11)
Рис.3.2

Анализируя формулы (3.10) и(3.11), можно дать геометрическую интерпретацию полученных результатов (рис.3.3). Составляющая сил избыточного давления равна весу жидкости в объеме призмы длиной d и гранями на торцах , а составляющая равна весу жидкости в объеме, ограниченном свободной поверхностью, цилиндрической поверхностью, воспринимающей давление и торцевыми поверхностями площадью .

Линию действия равнодействующей сил избыточного давления можно найти, если установить линии действия составляющих . Эти линии определяются координатами соответственно (рис.3.4), которые определяются из условий равенства моментов относительно оси x от , :

а)	б)
Рис.3.3

	(3.12)
	(3.13)

Координаты , находим из (3.10) и (3.12), (3.11) и (3.13), соответственно:

	(3.14)
	(3.15)

Интересно проследить влияние величины заглубления цилиндрической поверхности на линии действия составляющих равнодействующей сил давления. Расчет по формулам (3.14) и (3.15) дает следующие результаты

	0	0,775R	0,333R	23,3
	R	0,549R	0,444R	39,0		(3.16)
	10R	0,506R	0,492R	44,2
	100R	0,501R	0,499R	44,9

Анализ показывает, что при увеличении заглублении цилиндрической поверхности линия действия равнодействующей стремится пройти через точку с координатами (0,5d; -0,5R; 0,5R), а угол ее наклона к свободной поверхности жидкости приближается к (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Лекция 4

Равновесие жидкости в движущемся сосуде

Эти задачи представляют интерес при определении нагрузок на стенки сосуда, движущегося поступательно и прямолинейно или вращающегося с постоянной угловой скоростью, когда модуль ускорения каждой частицы жидкости не изменяется по величине. Использование принципа Д’Аламбера позволяет свести эти задачи к задаче равновесия жидкости в движущемся сосуде и использовать для их решения основное уравнение гидростатики.

Жидкость в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси

Рассмотрим цилиндрический сосуд радиусом R, заполненный жидкостью, плотность которой , до уровня высотой . Через определенный промежуток времени, после начала вращения сосуда с постоянной угловой скоростью, жидкость под действием сил трения будет вращаться с той же угловой скоростью, что и сосуд. Установится равновесие жидкости относительно сосуда, т.е. равновесие в неинерциальной системе координат , вращающейся вместе с сосудом (рис.4.1). При введении в число сил, действующих на элементарную массу , переносной силы инерции , кроме действующей силы тяжести и сил давления , к частице жидкости можно применить уравнение равновесия(2.7).

Рис. 4.1

Так как

	(4.1)
	(4.2)

составляющие интенсивности массовых сил, действующих в точке с координатами (x,y,z), равны:

(4.3)

Форма поверхности равного давления определяется из условия . С учетом ( ) и (4.3) получим:

.

(4.4)

Интегрируя (4.4), находим

(4.5)

или, т.к. ,

.

(4.6)

Точки жидкости, давление в которых одинаково, располагаются на параболической поверхности, уравнение которой и представлено формулой (4.6).

Из (4.6) легко получить уравнение свободной поверхности жидкости во вращающемся сосуде, т.к. это есть поверхность, в точках которой . Для этого достаточно определить координату точки (вершины параболы свободной поверхности).

Пусть координаты точек принадлежащих этой поверхности. Тогда

.

(4.7)

Очевидно, что при . Тогда из уравнения (4.7) находим и уравнение свободной поверхности принимает вид

.

(4.8)

Воспользуемся условием равенства объемов жидкости в покоящемся и вращающемся сосудах , чтобы найти значение .

;	(4.9)
	(4.10)

Проинтегрировав (4.10) и приравняв полученный результат (4.9) найдем

,

(4.11)

что и решает задачу определения уравнения (4.8) свободной поверхности жидкости во вращающемся сосуде.

Максимальная высота подъема жидкости в сосуде определяется, как координата точки или (рис.4.1). По уравнению (4.8) находим

(4.12)

Высота подъема произвольной точки свободной поверхности над точкой (нижней точкой свободной поверхности) определяется как разность ( - )

(4.13)

Очевидно, что угловая скорость вращения сосуда, при которой нижняя точка свободной поверхности достигает его днища, определяется выражением, вытекающим из (4.11) при

(4.14)

Теперь, зная расположение точек свободной поверхности в подвижной системе координат (xyz), установим закон распределения давления по координате . Из уравнения равновесия (2,7) при значениях X,Y,Z (см. (4.3)) следует

(4.15)

После интегрирования (4.15) и определения постоянной интегрирования из граничного условия

,

(4.16)

находим

.

(4.17)

Если из формулы (4.13) выразить через высоту подъема соответствующей точки свободной поверхности

(4.18)

и подставить (4.18) в (4.17), то получим

.

(4.19)

Из рис. 4.1 можно установить, что - это глубина погружения рассматриваемой точки жидкости под свободной поверхностью . Тогда формула (4.19) принимает вид

,

(4.20)

что позволяет сделать вывод: в жидкости, покоящейся во вращающемся сосуде, давление распределяется по гидростатическому закону. А так как высота подъема жидкости больше высоты жидкости в покоящемся сосуде, то и максимальное давление, оказываемое жидкостью во вращающемся сосуде на его стенки, выше.