Дифференциальные уравнения равновесия покоящейся жидкости

Дифференциальные уравнения равновесия покоящейся жидкости иначе называют дифференциальными уравнениями Эйлера. Для вывода этих уравнений рассмотрим равновесие элементарного параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz, выделенного в произвольном объеме жидкости. Отбросив жидкость окружающую выделенный объем, заменим ее действие давлением, которое будет, в общем случае, изменяться при переходе от одной грани к другой (рис.2.3)

Рис. 2.3

Силы действующие на элементарный параллелепипед удовлетворяют условиям уравновешенности (2.5), из которых следуют уравнения Эйлера (2.6).

(2.5)

(2.6)

Умножив формулы (2.6) – первую на dx, вторую на dy, третью на dz, после сложения получим

(2.7)

Если массовые силы потенциальны, то

(2.8)

Тогда уравнение (2.7) принимает вид

,

(2.9)

или

,

(2.10)

где U – силовая функция;

П – потенциальная энергия поля массовых сил.

Следует отметить, что p=p(x, y, z), U=U(x, y, z), П=П(x, y, z) -- функции только координат точек, в которых эти функции определяются.

Интегрируя уравнение (2.10), получим

или ,

(2.11)

где С – постоянная интегрирования.

Записав (2.11) для двух различных точек рассматриваемого объема жидкости, получим следующее уравнение

.

(2.12)

Из (2.12) следует, что поверхности постоянного давления -- p=const, это поверхности

Различные значения константы соответствуют разным поверхностям постоянного давления. Давление нормально поверхности равного давления, а так как оно уравновешивается массовыми силами, то и они в покоящейся жидкости ориентированы по нормали к этой поверхности (рис.2.4).

Рис. 2.4

Свободная поверхность жидкости, т.е. поверхность граничащая с газовой средой, также является одной из поверхностей равного давления. Если жидкость находится в равновесии под действием только поля силы тяжести (ее напрвление совпадает с вертикалью), то поверхности постоянного давления представляют семейство горизонтальных плоскостей.

Основной закон гидростатики

Рассмотрим жидкость, покоящуюся в сосуде, неподвижном относительно Земли. Для этого случая массовой силой, действующей на жидкость, является сила тяжести G=m·g параллельная оси z. Тогда составляющие интенсивности массовых сил равны

(2.13)

Подставляя (2.13) в уравнения (), получим

.

(2.14)

Интегрируя уравнение (2.14) в предположении ρ=const, получаем

,

или

.

(2.15)

Разделив обе части уравнения (2.15) на ρ·g, получим

.

(2.16)

Для двух точек одного и того же объема покоящейся жидкости уравнение (2.16) представляется в следующем виде

.

(2.17)

Уравнение (1.17) выражает гидростатический закон распределения давления в однородной несжимаемой жидкости, покоящейся относительно Земли. Обычно уравнение (2.17) называют основным законом гидростатики.

Часто основной закон гидростатики записывают в иной форме, используя глубину погружения h точки рассматриваемого объема жидкости (рис.2.5). Определим давление в точке А покоящейся жидкости, расположенной на глубине h от свободной поверхности, где действует давление p_о. Свободная поверхность имеет координату z_о, а точка А – z. Плотность жидкости ρ. Из формулы (2.15) при z=z_o находим и формула (2.15) принимает вид

(2.18)

Анализируя формулу (2.18) можно сделать следующие выводы:

- для любой точки жидкости величина давления p_о на граничной поверхности входит как постоянная составляющая, что позволяет сформулировать закон Паскаля – давление, приложенное к граничной поверхности покоящейся жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково; закон Паскаля – основной закон, поясняющий работу объемного гидропривода, применяемого в большинстве гидравлических систем технологических машин;

Рис. 2.5

- на равной глубине в покоящейся или равномерно движущейся жидкости давление одинаково, что указывает на то, что в этом случае поверхности постоянного давления горизонтальны; существование поверхностей равного давления позволяет измерять давление в любой точке жидкости.