2- 1_Эконометрика (Эконометрика.Контрольная работа №2.Вариант №1)

Контрольная работа №2

Вариант 2.1

1. Найти несмещенную оценку дисперсии , несмещенную оценку среднеквадратического отклонения S_l, и оценку ковариационной матрицы вектора , используя данные (в тыс. руб.) о среднедушевых сбережениях (y) и доходах (x) в северных областях России в n=10 семьях. Данные представлены в табл. 5.4. Рассматривается линейная модель вида

,

где ,

№ семьи (i)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yi (тыс.руб.)	0,66	0,22	4,84	1,98	8,80	3,74	12,76	5,50	16,50	6,60
xi (тыс.руб.)	2,20	4,40	6,60	8,80	11,00	13,20	15,40	17,60	19,80	22,00

Решение.

Для удобства вычислений составляем таблицу:

	хi	уi	х²	у²	ху	ŷi	уi - ŷi	(уi – ŷi)²
1	2,2	0,66	4,84	0,4356	1,452	0,76	-0,1	0,01
2	4,4	0,22	19,36	0,0484	0,968	1,96	-1,74	3,0276
3	6,6	4,84	43,56	23,4256	31,944	3,16	1,68	2,8224
4	8,8	1,98	77,44	3,9204	17,424	4,36	-2,38	5,6644
5	11	8,8	121	77,44	96,8	5,56	3,24	10,4976
6	13,2	3,74	174,24	13,9876	49,368	6,76	-3,02	9,1204
7	15,4	12,76	237,16	162,8176	196,504	7,96	4,8	23,04
8	17,6	5,5	309,76	30,25	96,8	9,16	-3,66	13,3956
9	19,8	16,5	392,04	272,25	326,7	10,36	6,14	37,6996
10	22	6,6	484	43,56	145,2	11,56	-4,96	24,6016
Σ	121	61,6	1863,4	628,1352	963,16			129,8792
	12,1	6,16	186,34	62,81352	96,316

Используя данные таблицы, имеем:

= 12,1 = 6,16 = 186,34 = 62,81352 = 96,316

Рассчитываем и по методу наименьших квадратов:

== 0,545455 ; = -· = -0,44

Оценка уравнения регрессии имеет вид

Используя вычисления в таблице, имеем:

=16,2349

2. Дана оценка ковариационной матрицы вектора несмещенных оценок

Чему равна оценка дисперсии элемента вектора , то есть:

а) 5,52 ;

б) 0,04 ;

в) 0,01 ;

г) 2,21 .

Ответ:

Ковариационная матрица вектора была введена соотношением

С помощью её элементов подсчитываются основные показатели случайного разброса оценок около соответствующих истинных значений параметров и одновременно характеристики взаимозависимости полученных оценок. Из определения следует, что её диагональные элементы задают средние квадраты ошибок соответствующих оценок (а для несмещённых оценок это и есть оценок). Таким образом оценка дисперсии элемента вектора равна 5,52.

Ответ: а

3. Пусть а Показать, что данная оценка является несмещенной.

Решение.

Оценка параметра называется несмещённой, если .

Чтобы подсчитать среднее значение оценки , подставим в формулу вместо Y его выражение из соотношения И получим следующее выражение:

Здесь оценка представлена как сумма истинного значения и линейной комбинации случайных остатков . Беря математические ожидания от левой и правой частей полученного выражения, с учётом того, что величины и неслучайны, а , получаем:

Тем самым показано, что данная оценка является несмещенной.