Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексное число изображается на координаиной плоскости точкой или вектором , начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой .

Координатная плоскость называется при этом комплексной плоскостью, ось абсцисс – действительной ось, а ось ординат – мнимой осью.

Модулем комплексного числа называется абсолютная величина вектора, соответствующего этому числу. Для модуля числа используются обозначения , На основании теоремы Пифагора получается формула

Например, комплексное число имеет модуль, равный 10, так как .

Аргументом комплексного числа называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором, соответствующим этому числу.

Аргумент комплексного числа z= a+bi можно находить так:

а) найти острый угол

б) найти аргумент комплексного числа в зависимости от того, в какой координатной четверти лежит вектор, соответствующий этому числу: в 1 четверти ; во 2 четверти ; в 3четверти ; в 4 четверти .

Пример 3. Найдите аргумент комплексного числа .

Решение. Находим угол . Вектор, соответствующий данному комплексному числу, лежит в 4 координатной четверти, поэтому аргументом числа является

Аргументы действительных и чисто мнимых чисел надо находить непосредственно, исходя из их геометрической интерпретации, а, не используя приведенное выше правило.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Дано комплексное число , можно выразить действительные числа через модуль числа следующим образом: Таким образом, комплексное число можно записать в виде где модуль комплексного числа, a его аргумент. Представление комплексного числа называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов. Аргумент комплексного числа можно находить и из системы

Пример 4. Записать число в тригонометрической форме.

Решение. Находим модуль .

Находим угол . Вектор, соответствующий данному комплексному числу, лежит в 3 координатной четверти. Аргументом является Следовательно Что бы перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа к алгебраической, достаточно найти действительные числа

Пример 5. Записать число в алгебраической форме.

Решение. Сначала найдем и :

Следовательно,

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Если и , то

Если то

где – арифметический корень,

Пример 6. Даны комплексные числа Найти их произведение и частное. Ответ записать в алгебраической форме.

Решение. Применим правила умножения и деления комплексных чисел

Пример 7.Вычислить .

Решение. Находим z

Пример 8. Вычислить .

Решение. Запишем число в тригонометрической форме. Находим

Тогда

Пример 9. Вычислить Ответ записать в тригонометрической и алгебраической формах.

Решение. Запишем число -81 в тригонометрической форме:

. Следовательно,

При

Показательная форма комплексного числа. Рассматривая функцию для комплексного переменного, Эйлер установил соотношение которое называется формулой Эйлера.

Из этой формулы следует, что каждое комплексное число можно записать в форме которая называется показательной формой записи. Над комплексными числами, заданными в показательной форме, удобно производить умножение и деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня:

Пример 10. Представить число в алгебраической форме.

Решение. По условию, откуда Значит, Пример 11. Выполнить действия и записать ответ в тригонометрической и показательной формах:

Решение. Сначала выполним действия: Теперь запишем число в тригонометрической и показательной формах, для чего найдем модуль и аргумент: Тогда .