Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика

Учебное пособие

(курс лекций)

1-й семестр

Часть 2

для специальности:

09.03.03 «прикладная информатика в экономике»

(группы 446-1 и 446-2)

Томск

ТУСУР

2016

Настоящее электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения лекций на ФСУ (профилирующая кафедра АСУ) в группах 446-1 и 446-2 осенью 2016 года.

Оглавление.

Часть 2 (ноябрь - декабрь)

Глава 5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. 4

§1. Множества и функции. 4

§2. Пределы. 9

§3. Бесконечно-малые и бесконечно-большие величины 23

§4. Непрерывность. 28

Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 33

§1. Введение, основные методы. 33

§2. Частные производные и градиент. 40

§3. Уравнение касательной, формула Тейлора.

§4. Экстремумы и строение графика.

§5. Основные теоремы дифф. исчисления

Оглавление по номерам лекций:

Лекция № 8. 21. 10. 2016 4

Лекция № 9. 28. 10. 2016 6

Лекция № 10. 11. 11. 2016 17

Лекция № 11. 18. 11. 2016 27

Лекция № 12. 25. 11. 2016 37

Лекция № 13. 02. 12. 2016 48

Лекция № 14. 09. 12. 2016

Лекция № 15. 16. 12. 2016

Лекция № 16. 23. 12. 2016

Лекция № 8. 21. 10. 2016

Глава 5. Основы математического анализа.

§1. Множества и функции.

Множеством называют совокупность объектов некоторого типа. Например, множество точек на плоскости, множество чисел, множество матриц.

Объединение

Пересечение

Объединение и пересечение 2 множеств показаны графически:

Разность множеств: . Показано на чертеже:

Аналогично, .

Объединение этих двух разностей называется симметрической разностью, и обозначается так: = , на чертеже:

В то же время, это множество можно получить и другим путём: из объединения удалить пересечение. То есть,

= .

Ещё обозначения: - множество А является подмножеством множества В.

Числовые множества.

натуральные числа

целые числа

рациональные числа

вся действительная ось, действительные числа.

Множество - иррациональные числа.

Верно следующее: .

Существует обобщение: комплексные числа вида . Комплексная плоскость.

Множества на действительной оси.

Интервал - граничные точки не включены.

Отрезок - здесь границы включены во множество.

Пример. Найти объединение и пересечение множеств ,

.

Множество вида . Числа «бесконечность» не существует, поэтому в таком множестве справа всегда должна быть круглая скобка.

Интервал вида в будущем будем называть окрестностью радиуса точки и обозначать .

Внутренние и граничные точки.

Если для точки существует окрестность, которая полностью лежит во множестве А, то есть является его подмножеством, , то такая точка называется внутренней точкой множества А. Если же для любой окрестности есть лишь частичное пересечение со множеством А, то такая точка называется граничной точкой множества. Показано на чертеже:

Функция, аргумент, образ.

Пусть даны 2 множества , . Если задан некоторый способ каждому элементу поставить в соответствие какой-то , то говорится, что задана ФУНКЦИЯ из в . Обозначение: .

называется аргументом функции, а - образом.

Основные элементарные функции и их графики: повторить из школьного курса (!)

Степенные , показательные , логарифмические , тригонометрические , обратные тригонометрические.

Лекция № 9. 28. 10. 2016

Если , то есть , график - кривая в плоскости.

Если функция двух переменных, то есть , её график - это поверхность в трёхмерном пространстве.

Монотонность.

Монотонно возрастающая функция: если то .

Монотонно убывающая функция: если то .

Периодичность.

Если существует такое число , что верно то функция называется периодической, - период.

Примеры. , период , , период .

О влиянии коэффициента на период. Если период равен . Если , колебания становятся чаще, а период меньше. Почему так происходит? Точка прошла расстояние , в это время - прошло в раз больше, то есть в раз больше колебаний произошло на этом отрезке, длина которого . Если наоборот, период больше, а колебания реже, чем у исходного графика.

Чётность и нечётность.

Чётная функция: . График чётной функции симметричен относительно оси 0y, т.е. при зеркальном отражении переходит в точно такой же график, примером может быть парабола, а также cos(x).

Нечётная функция: . График нечётной функции симметричен относительно точки (0,0), то есть после поворота на 180⁰ график был бы таким же, примером может быть кубическая парабола или любая другая нечётной степени, или например синус, тангенс.

Существует такое неочевидное свойство разложения на чётные и нечётные компоненты:

Свойство. Любая функция f представима в виде суммы чётной и нечётной, то есть .

Доказательство. Введём две функции: , . Первая из них чётна, вторая нечётна. Видно, что если заменить на , то для получится выражение, равное исходному, а вот для разность в числителе будет противоположна: = .

Сумма этих функций: = = = .

итак, .

Если чётную и нечётную компоненты записать для функции , то получатся так называемые гиперболический косинус и гиперболический синус: , .

Вообще, существует 3 способа задания функций - явный, неявный, параметрический.

Способ задания:	Явно	Неявно	Параметрически
Вид уравнения:
Пример (окружность)
Пример (прямая)

Для поверхностей тоже существуют эти 3 способа:

Явный: Неявный:

Параметрический: (в этом случае обязательно будет два параметра). Например, 2 параметра на сфере: широта и долгота.