6.14 Определить частоту вращения (циклотронную частоту) частицы массы m и зарядом q в магнитном поле индукции b.

Если заряженная частица движется в однородном магнитном поле под действием силы Лоренца, а ее скорость лежит в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции то частица будет двигаться по окружности радиуса:

(6.14.1)

где m,v,q – масса, скорость и заряд частицы.

 

Сила Лоренца в этом случае играет роль центростремительной силы .

Период обращения частицы в однородном

магнитном поле равен:

Это выражение показывает, что для заряженных частиц заданной массы m период обращения не зависит от скорости υ и радиуса траектории r.

Угловая скорость движения заряженной частицы по круговой траектории:

(6.14.2)

Подставим в полученное выражение (6.14.2) выражение для радиуса траектории частицы (6.14.1), получим:

называется циклотронной частотой. Циклотронная частота не зависит от скорости (следовательно, и от кинетической энергии) частицы. Это обстоятельство используется в циклотронах – ускорителях тяжелых частиц (протонов, ионов).

6.15 Выполняется ли принцип независимости движения для заряженных частиц, движущихся одновременно в электрическом и магнитном полях?

Движение частицы, находящейся в электромагнитном поле, описывается следующим уравнением.

Второй закон Ньютона: 

Заряженная частица, обладающая зарядом q, движется в электромагнитном поле согласно этому уравнению. Видим, что сила, действующая на частицу со стороны электромагнитного поля, определяется двумя векторными полями: поле  называется напряжённостью электрического поля, поле   - индукция магнитного поля. Они разделены, потому что влияние их на частицу различны. Поле  не содержит никаких характеристик частицы кроме заряда. Если v = 0, то второе слагаемое обращается в ноль. Это означает, что магнитное поле действует только на движущиеся частицы. Неподвижные заряды не чувствуют магнитного поля.

Следовательно, принцип независимости движения для заряженных частиц, движущихся одновременно в электрическом и магнитном полях, выполняется.

6.16 Электрон, обладающий скоростью v, попадает в однородное магнитное поле, индукция которого перпендикулярна скорости v. Окружность, какого радиуса описывает электрон?

Если заряженная частица движется в однородном магнитном поле под действием силы Лоренца, а ее скорость лежит в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции то частица будет двигаться по окружности радиуса:

где m, q – масса и заряд частицы.

Заряд электрона q = e, масса m = m_e.

Радиус описываемой электроном окружности:

6.17 Заряженная частица, пролетая некоторую область пространства, не отклоняется от первоначального направления движения. Можно ли на основании этого факта утверждать, что магнитное поле в этой области отсутствует?

Нельзя. Заряженная частица не отклоняется от первоначального направления движения в магнитном поле в следующих случаях:

1) В каждой точке магнитного поля существует такое направление, вдоль которого на движущуюся заряженную частицу магнитная сила не действует. Это направление можно назвать магнитной осью. Существенно, что для каждой точки поля существует свое, отличное от других точек поля, направление магнитной оси. Это направление выбирают за направление вектора магнитной индукции .

При движении вдоль линий поля (угол между скоростью и вектором магнитной индукции  равен нулю) на частицу не действует сила - она движется прямолинейно.

2) На частицу, движущуюся в скрещенных электрическом и магнитном полях, действуют электрическая сила и магнитная сила Лоренца. При условии E = υB эти силы точно уравновешивают друг друга. Если это условие выполняется, частица будет двигаться равномерно и прямолинейно.

6.18 Пучок протонов, попадая в некоторую область пространства, отклоняется на некоторый угол. Можно ли на основании этого факта определить, каким полем вызвано отклонение, электрическим или магнитным?

Не имея данных ни о направлении поля действия поля, ни об изменении скорости частиц (или их кинетической энергии) при прохождении данной области установить природу поля нельзя.

6.19 Протон и электрон, имеющие одинаковую скорость, попадают в однородное магнитное поле, индукция В которого перпендикулярна скорости частиц. Как будут различаться их траектории?

Если заряженная частица движется в однородном магнитном поле под действием силы Лоренца, а ее скорость лежит в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции то частица будет двигаться по окружности радиуса:

(6.19.1)

где q, m – заряд и масса частицы.

Заряды протона и электрона равны по величине, но противоположны по знаку: |q_p| = |q_e| = |e|

Исходя из формулы 6.19.1 радиус траектории частицы пропорционален ее массе и при равенстве скоростей, радиус траектории протона будет больше радиуса траектории электрона примерно в 1836 раз (соотношение масс протона и электрона m_p/m_e = 1836,15267).

Так как эти частицы имеют противоположные по знаку заряды, то и направление силы Лоренца, действующий на них в магнитном поле будет противоположно. Протон и электрон будут двигаться по окружностям в противоположных направлениях.

6.20 Протон и электрон, ускоренные одинаковой разностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны траектории протона будет больше радиуса кривизны траектории электрона?

Частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов U, приобретает кинетическую энергию, равную:

(6.20.1)

где q, m – заряд и масса частицы;

v – скорость, которую приобретает частица.

Если заряженная частица движется в однородном магнитном поле под действием силы Лоренца, а ее скорость лежит в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции то частица будет двигаться по окружности радиуса:

(6.20.2)

Из уравнения (6.20.1) найдем скорость частицы:

Полученное выражение для скорости частицы v подставим в уравнение (6.20.2):

(6.20.3)

Заряды протона и электрона равны по величине и противоположны по знаку: |q_p| = |q_e| = |e|

С учетом равенства абсолютной величины зарядов и на основании формулы (5.20.3) запишем соотношение радиусов кривизны траекторий частиц:

В справочной литературе приведено соотношение масс протона и электрона − m_p/m_e = 1836,15267.

Окончательно получаем: