1.2. Основные определения, используемые в математических методах моделирования

После того, как вы получили некоторое представление о лесохозяйственных задачах, решение которых требует применения математических методов, можно перейти к формулированию часто используемых статистических определений. Прежде всего, необходимо дать определение тому, что является предметом (объектом) исследований математическими методами.

Предметом исследований математическими методами являются случайные величины

Под категорию «случайных величин» вполне подпадают приведенные выше объекты лесохозяйственной деятельности. Это и диаметры деревьев, и численность личинок на единице площади лесного питомника, и всхожесть семян и так далее. Все они обладают общим свойством принимать различные значения без очевидных на то оснований для их разнообразия. Изменяется количество личинок на 1 м² питомника, имеют различные значения диаметры стволов в одновозрастном древостое, варьирует всхожесть семян в пробах из одной партии и тому подобное. Везде изучаемое свойство, качество признака, величина отдельных единиц из множества находятся под воздействием большого числа разнообразных и сложным образом взаимодействующих факторов, число которых учесть полностью и оценить влияние каждого из них отдельно невозможно. В результате совместного, разнонаправленного действия таких факторов отдельные значения изучаемой величины оказываются неодинаковыми, переменная величина является изменчивой, а сама изменчивость носит случайный характер. Однако случайный характер изменчивости признака не означает отсутствие какой-либо закономерности

Случайной величиной называют такую величину, которая под влиянием многих разнонаправленных, одновременно действующих факторов принимает различные значения в каких-то пределах.

Для обнаружения каких-либо закономерностей изучаемой случайной величины необходимо произвести достаточно большое число наблюдений. Например, для того, чтобы проявилась закономерность в распределении стволов по диаметру, необходимо обмерить, по крайней мере, 100 и более деревьев. Отсюда возникло еще одно понятие - массовое явление.

массовое явление – это необходимое свойство изучаемой случайной величины, которое обеспечивает наблюдение или эксперимент в практически одинаковых условиях

Получить представление о характере распределения деревьев по диаметру можно путем осмотра древостоя, отмечая каких деревьев больше, каких меньше. Если древостой одновозрастный, то большинство деревьев имеют диаметры, близкие к среднему арифметическому диаметру. По мере отдаления диаметров деревьев от среднего диаметра, как в большую, так и в меньшую сторону, количество деревьев снижается. Подтвердить это экспериментально можно только путем обмера достаточно большого количества деревьев. Например, обмер диаметров деревьев по 4-х сантиметровым ступеням толщины покажет, что в начале эксперимента никакой закономерности в распределении не проявляется. Продолжая обмер деревьев до нескольких десятков деревьев можно увидеть, что количество стволов в центре ряда увеличивается быстрее, чем по краям ряда. На рис. 1а показано распределение по диаметру 10 стволов (начало перечета). На рис 1б показано распределение 100 стволов того же древостоя.

Рис 1а Рис 1б

На левом графике (рис 1а) показано распределение 10 стволов, где никакой закономерности в распределении стволов не проявляется. На правом графике (рис 1б) показано распределение 100 стволов. По нему можно видеть, что наибольшее количество стволов имеют диаметры 22-30 см.

По мере продолжения обмера стволов, форма расположения точек на графике изменяется все медленнее, а график все точнее отражает распределение стволов, имеющееся в генеральной совокупности. Имеет место быть устойчивость явления.

Статистическая устойчивость – это стабильность распределения значений в выборке, достижение которой позволяет по выборке оценивать характеристики случайной величины в генеральной совокупности.

Чтобы узнать, как распределятся учетные площадки по количеству личинок на одном квадратном метре недостаточно иметь 5-10 площадок. Количество площадок нужно увеличивать до тех пор, пока характер распределения не станет устойчивым. Только с достижением устойчивости в распределении можно говорить о том, что выборочная совокупность надежно характеризует переменную величину генеральной совокупности. Пока не достигнуто состояние устойчивости распределения единиц в выборке, характеристика генеральной совокупности по выборке не надежна.

Чтобы закрепить представление о статистической устойчивости распределения проведите следующий эксперимент. Подберите однородный по составу и возрастной структуре древостой на достаточно большой площади, в составе которого 80 % деревьев сосны и 20 % деревьев березы. Древостой можно заменить имитационной моделью, планом, на котором условными знаками показать размещение деревьев сосны и березы. Проведите перечет деревьев по ступеням толщины в пять этапов. На первом этапе методом случайного отбора возьмите в перечет 10 деревьев сосны и березы вместе, на втором этапе количество деревьев в перечете доведите до 50 деревьев, третьем – до 100 деревьев, четвертом – до 200 деревьев и в пятом этапе – до 254 деревьев. Результаты перечета приведены в таблице 1. Графические изображения поэтапного перечета показаны на рис 2 – 4. Итоги 1-4 этапов перечета не позволяют утверждать, что характер кривой распределения в генеральной совокупности несущественно отличается от распределения стволов в выборке. Итоги перечета на 5 этапе несущественно изменили форму линии на графике по сравнению с 4 этапом. Можно говорить о достижении состояния устойчивости. Таким образом, для достижения состояния устойчивости выборочная совокупность должна быть достаточно большого объема.

Таблица 1				Этапы перечета деревьев по диаметру
1 этап						2 этап
Ступени толщины, см	Порода					Ступени толщины, см	Порода
	Сосна		Береза		Итого		Сосна	Береза	Итого
	число стволов						Число стволов
8	1		2		3	8	1	2	3
12	1		2		3	12	2	3	5
16	2				2	16	4	5	9
20					0	20	2	4	6
24					0	24	6	6	12
28	2				2	28	2	3	5
32						32	5	2	7
36						36	3		3
40						40			0
Итого, шт. %	6		4		10	Итого, шт %	25	25	50
	60		40		100		50	50	100
3 этап						4 этап
Ступени толщины, см	Порода					Ступени толщины см	Порода
	Сосна		Береза		Итого		Сосна	Береза	Итого
	Число стволов						Число стволов
8	2		2		4	8	3	2	5
12	5		3		8	12	9	3	12
16	7		7		14	16	19	9	28
20	14		6		20	20	33	6	39
24	15		9		24	24	42	10	52
28	10		3		13	28	27	3	30
32	8		2		10	32	24	3	27
36	5		1		6	36	5	1	6
40	1				1	40	1		1
Итого, шт	67		33		100	Итого, шт	163	37	200
%	67		33		100	%	81,5	18,5	100

Окончание табл.1				5 этап
Ступени толщины см	Порода
	Сосна	Береза	Итого
	Частота – число стволов
8	3	2	5
12	10	3	13
16	31	15	46
20	39	15	54
24	48	10	58
28	37	5	42
32	26	3	29
36	5	1	6
40	1		1
Итого, шт	200	54	254			Рис 2. Линии распределения
%	79	21	100			в состоянии устойчивости
Рис 3. Этапы достижения						Рис 4. Этапы достижения
устойчивости						устойчивости

Совокупность всех возможных значений случайной величины, находящихся в одинаковых условиях, называется генеральной совокупностью.

Выборочная или частичная совокупность- это некоторое число значений, взятых из генеральной совокупности.

Объем выборки, это количество всех единиц значений, составляющих одну выборку.

Другими словами, сколько деревьев попало в перечет, это и есть объем выборки.

В теории вероятностей используется такое понятие как случайное событие. В примере с поэтапным перечетом деревьев в качестве случайного события можно рассматривать любую ступень толщины стволов. В ходе перечета заранее неизвестно, какой диаметр у следующего обмеряемого дерева. Распределение деревьев разной толщины по площади древостоя имеет случайный характер.

Случайное событие-

это такое событие, которое в результате эксперимента или наблюдения может произойти, а может и не произойти.

Случайная величина и случайное событие. Что в них общего и в чем различие?

Чтобы избежать путаницы в определениях следует подчеркнуть имеющиеся различия в определении случайной величины и случайного события. Случайными событиями можно назвать диаметры ствола определенной величины. Например, ступени толщины 8 см, 12 см и т.д. можно отнести к категории случайных событий. Случайная величина может содержать в себе несколько случайных событий. Например, объект изучения диаметр деревьев есть случайная величина. Случайным событием можно назвать группу значений случайной величины, представляющую некоторый интерес для исследователя.

Частота случайного события есть число повторений одинаковых значений случайной величины.

В таблице 1 количество стволов по ступеням толщины называются частотами.

Частость случайного события – это частное от деления частоты на объем выборки.

Таблица 2– Определение устойчивой частости событий при перечете Порода - сосна

Ступени	Этапы перечета
	1		2		3		4		5
	Частота	Частость	Частота	Частость	Частота	Частость	Частота	Частость	Частота	Частость
8	1	0,17	1	0,04	2	0,03	3	0,02	3	0,015
12	1	0,17	2	0,08	5	0,07	9	0,06	10	0,050
16	2	0,33	4	0,16	7	0,11	19	0,11	31	0,155
20			2	0,08	14	0,21	33	0,20	39	0,195
24			6	0,24	15	0,22	42	0,26	48	0,24
28	2	0,33	2	0,08	10	0,15	27	0,16	37	0,185
32			5	0,20	8	0,12	24	0,15	26	0,13
36			3	0,12	5	0,07	5	0,03	5	0,025
40					1	0,02	1	0,01	1	0,005
Σ	6	1	25	1	67	1	163	1	200	1

Рис 5. Достижение устойчивой частости распределения по диаметру стволов сосны

Вывод, который следует сделать из этого эксперимента в пяти этапах, состоит в том, что по мере увеличения объема выборки частости приближаются к вероятностям. Вероятностями для данного эксперимента являются частости, вычисленные по данным перечета всей генеральной совокупности. Перечет для генеральной совокупности можно получить в результате обмера всех деревьев породы в выделе.