5.3. Внутренние силы. Метод сечений

Взаимодействие между частями (частицами) внутри элемента конструкции характеризуется внутренними силами.

Внутренние силы представляют собой силы межатомного взаимодействия (связей), возникающие при воздействии на тело внешних нагрузок.

Практика показывает, что внутренние силы определяют прочностную надежность детали (тела).

Для нахождения внутренних сил используют метод сечений. Для этого мысленно рассекают тело на две части, одну часть отбрасывают, другую рассматривают совместно с внешними силами. Внутренние силы распределены по сечению некоторым сложным образом. Поэтому систему внутренних сил приводят к центру тяжести сечения, чтобы можно было определить главный вектор и главный момент М внутренних сил, действующих по сечению. Затем раскладываем главный вектор и главный момент на составляющие по трем осям и получаем внутренние силовые факторы сечения: составляющая N_z называется нормальной, или продольной си­лой в сечении, силы Q_x и Q_y называются поперечными силами, момент M_z (или M_к) называется крутящим моментом, а моменты M_х и M_y  - изгибающими моментами относительно осей х и y, соответственно.

Таким образом, если внешние силы заданы, то внутренние силовые факторы вычисляются как алгебраические суммы проекций сил и моментов, действующих на мысленно отсеченную часть тела.

После определения числовых значений внутренних сил строят эпюры – графики (диаграммы), показывающие как изменяются внутренние силы при переходе от сечения к сечению.

5.4. Напряжения в сечении

Рассмотрим сечение некоторого тела плоскостью, проведенной в произвольной точке. Площадь полученного сечения обозначим через А. Выделим элементарную площадку dА с произвольными координатами х и у.

Проекциями главного вектора на оси z, y, x будут элементарные силы dN, dQ_y, dQ_x. Разделив эти величины на площадь dA, получим напряжение в точке (y;x) поперечного сечения стержня:

где - нормальное напряжение, Па; , - касательные напряжения, Па.

Если через точку О провести секущую плоскость в другом направлении, то напряжение в той же точке будет другим. Совокупность нормальных и касательных напряжений для множества элементарных площадок, проходящих через точку, полностью характеризуют напряженное состояние в этой точке. Определение этих напряжений представляет суть расчетов на прочность при статическом приложении нагрузки.

Полное напряжение р в точке может быть выражено через нормальное и касательные напряжения:

p= .

N= ; Q = ; Q = ;

M = ; M = ;

M =M = .

,

где - расстояние от центра тяжести сечения до линии действия dQ.

Лекция 6.

Тема 6. Растяжение и сжатие.

Механические характеристики материалов

6.1. Напряжение и деформации при растяжении и сжатии.

Закон Гука

Растяжение или сжатие стержня вызывается силами, действующими вдоль его оси. В этом случае в поперечных сечениях стержня возникает только продольная (нормальная) сила N и нормальные напряжения .

Так как поперечных сил нет, поэтому касательные напряжения в каждой точке поперечного сечения равны 0.

Закон распределения нормальных напряжений по поперечному сечению бруса устанавливается на основании гипотезы плоских сечений (гипотезы Я. Бернулли): сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и при деформации.

Значит, при растяжении-сжатии бруса нормальные напряжения равномерно распределены по его поперечному сечению.

N= .

На основании гипотезы Бернулли следует заключить, что все волокна элемента длиной l удлиняются на ∆l и их относительные удлинения одинаковы:

Закон Гука выражает линейную зависимость деформаций от напряжений:

, или ,

где Е - коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости первого рода или модулем Юнга, МПа.

Учитывая, что E=const и ,

Находим , отсюда

.

Определяя напряжения, в сопротивлении материалов пользуются принципом Сен-Венана:

распределение напряжений существенно зависит от способа приложения внешних сил лишь вблизи места нагружения. В частях, достаточно удаленных от места приложения сил, распределение напряжений практически зависит только от статического эквивалента этих сил, а не от способа их приложения.

Закон Гука для относительной продольной деформации

.

Закон Гука для абсолютной продольной деформации:

.

Здесь ЕА - жесткость поперечного сечения стержня при растяжении-сжатии.

c= - жесткость стержня при растяжении-сжатии.

Если продольная сила и поперечное сечение стержня по длине не постоянны, то

; .

Растяжение и сжатие сопровождаются также изменением поперечных размеров стержня.

Абсолютные поперечные деформации:

Относительные поперечные деформации:

При растяжении поперечные деформации отрицательны, а при сжатии – положительны.

Коэффициент Пуассона:

μ= .

μ - безразмерная величина, μ =0…0,5. Например, для каучука μ≈0,5, для стали μ≈0,3.

Коэффициент Пуассона μ и модуль упругости Е характеризуют упругие свойства материала.

Учитывая, что и всегда имеют противоположные знаки, получим

μ -μ .