4.6 Концентрация напряжений

В местах искажения сечения (у отверстий, выточек, надрезов, трещин и т.п.) происходит искривление линий силового потока. Обтекая препятствия, они сгущаются, что характеризует повышение "" в этих местах. Искривления свидетельствуют о появлении двух главных напряжений ₁ и  (плоское напряженное состояние), а при большой толщине элемента возникает и ₃ - объемное напряженное состояние (рисунок 4.5).

Рисунок 4.5 – Концентрация напряжений

Неравномерность распределения "" характеризуется коэффициентом концентрации

; . (4.4)

А_НТ – площадь ослабленного сечения, которая зависит от радиуса кривизны (остроты) надреза:

у круглых отверстий К = 1.5 ÷ 3.0;

у острых надрезов К = 6 ÷ 9

Чем выше концентрация , тем меньше пластические деформации. При статических нагрузках и нормальной t^o влияние на прочность концентрации напряжений невелико и их можно не учитывать.

Эти явления опасны при эксплуатации конструкций при низких температурах, динамических нагрузках.

4.7 Коррозия металла и меры борьбы с ней

Коррозией называется разрушение поверхности металлов, вызываемое электрохимическими процессами, происходящими в материале. В результате коррозии уменьшаются поперечные сечения и несущая способность элементов конструкций. Скорость коррозии зависит от степени агрессивности среды и от формы поперечных сечений конструкций. Скопление пыли на поверхности конструкций и ее периодическое смачивание увеличивают скорость коррозии, поэтому наиболее устойчивы к коррозии элементы трубчатого сечения и вертикально расположенные элементы. Коррозия наиболее интенсивна, когда в атмосфере есть сернистые или хлористые соединения.

Для предохранения от коррозии стальные конструкции должны быть тщательно очищены и окрашены.

Скорость коррозии алюминиевых сплавов меньше чем стали в 5-10 раз. В обычных условиях эксплуатации алюминиевые конструкции не нуждаются в защите от коррозии, т.к. быстро покрываются прочной окисной пленкой. Конструкции, находящиеся в среде высокой агрессивности, покрывают эмалями или лаками.

4.8 Расчет элементов конструкций

4.8.1 Основы расчета на прочность центрально растянутых или сжатых элементов

Поведение их под нагрузкой, при условии обеспечения устойчивости сжатого элемента, полностью соответствует работе материала при простом растяжении - сжатии.

Предполагается, что напряжения в поперечном сечении элементов распределяются равномерно. Для обеспечения несущей способности таких элементов необходимо, чтобы эти напряжения от расчетных нагрузок в сечении с наименьшей площадью не превышали расчетного сопротивления.

Таким образом, в соответствии с основным неравенством первого предельного состояния имеем

 = N/A_n  R·_c, (4.5)

где R = R_y - если в стержне не допускается развитие пластических деформаций, если пластические деформации допустимы, то R равняется наибольшему из 2-х значений R_y и R_n/_u, где _u = 1.3 - коэффициент надежности по материалу при расчете конструкций по _в.

Проверка по второму предельному состоянию сводится к ограничению удлинений (укорочений) стержня от нормативных нагрузок

 , (4.6)

где  – расчетная длина стержня;

 - предельная величина удлинения (укорочения).

4.8.2 Основа работы и расчета изгибаемых элементов

В соответствии с гипотезой плоских сечений Бернулли, изменение деформаций по высоте сечения балок происходит по линейному закону, напряжения распределяются аналогично только до _т (рисунок 4.6).

Напряжения в точках, находящихся на расстоянии "у" от нейтральной оси, определяются по формуле

 = . (4.7)

Рисунок 4.6 – Изменение эпюры напряжений в изгибаемом элементе при развитии пластических деформаций в материале

Максимальное  возникает в крайней фибре сечения, при у = h/2

_max = , (4.8)

где W_x = J_х·2/h - момент сопротивления,

т.е. _max = . (4.9)

Таким образом, проверка прочности изгибаемых элементов, работающих в пределах упругих деформаций по первому предельному состоянию, производится по следующим формулам

_max =  R_y·_c и _max =  R_s·_c. (4.10)

По второму предельному состоянию наибольший прогиб балки от нормативной равномерно распределенной нагрузки сравнивается с предельной величиной прогиба по СНиП 2.01.07-85 "Нагрузки и воздействия".

f_max =  f_u. (4.11)

Для балок, загруженных сосредоточенной силой Р_n в середине пролета, проверка осуществляется по формуле

f_max =  f_u. (4.12)

Появление фибровой текучести не исчерпывает несущую способность элемента, т.к. в глубине сечения  < _т и стержень будет оказывать сопротивление при росте нагрузки.

Это приведет к росту деформаций, а рост  будет ограничен _т и упругое ядро будет уменьшаться. Кривизна ""  "у", а значит прогиб балки "у" будет резко нелинейно возрастать (рисунок 70), а несущая способность асимптотически приближаться к предельной М_пл. Эта стадия называется упругопластической, график деформаций вырождается в горизонтальную линию (), но практически это невозможно, т.к. материал обладает ограниченной деформативностью _lim, после которой происходит разрушение при a_min > 0. Поэтому, с небольшой погрешностью (для упрощения), можно использовать предельную эпюру (рисунок 4.7, в).

Кинематически эта стадия соответствует шарнирному механизму, т.е. возможен взаимный поворот частей балок, разделенных рассматриваемым сечением.

Поэтому, условный шарнир, получил название пластический шарнир, определяющий предельную несущую способность изгибаемого элемента. В отличие от механического, пластический шарнир исчезает, как только «М» меняет направление, т.к. материал при этом восстанавливает упругие свойства.

Предельный момент в шарнире пластичности определяется

М_пл = _т· ·dA = _т·( + ) = _т·W_пл, (4.13)

где W_пл = 2·S - пластический момент сопротивления.

Рисунок 4.7- Рост кривизны балки прямоугольного сечения (1) и двутавровой балки (2) при развитии в материале пластических деформаций

Введем коэффициент:

с = W_пл/W = М_пл/M, (4.14)

характеризующий резерв несущей способности балки, или иногда, называют коэффициентом, учитывающий степень развития пластических деформаций и зависящий от формы сечения.

Значения коэффициента "с": для прямоугольного - с = 1.5; прокатного двутавра - с = 1.1 и составного двутавра - с = 1.2 – 1.04.

Распределение пластических деформаций по длине балки зависит от типа опор и характера распределения нагрузки по ее длине (рисунок 4.8).

а – расчетная схема балки: б – эпюры напряжений в различных сечениях балки: в – эпюры изгибающих моментов; 1 – зона пластических деформаций; МI – предельная эпюра при упругой работе материала; МII – то же, при появлении пластического шарнира

Рисунок 4.8- Распределение пластических деформаций в балке

Таким образом, проверка прочности изгибаемых элементов при наличии пластических деформаций (для сталей R_y < 530 мПа) производится по формулам

 R_y·_c или  R_y·_cс. (4.15)

При многокомпонентном напряженном состоянии проверку прочности балки выполняют по формуле

_пр =  1.15 ·R_у·_с, (4.16)

где 1.15 – коэффициент, учитывающий развитие пластических деформаций.

Формулы (4.22) СНиП допускают использовать при наличии двух компонент _х и _ху, когда _ху < 0.5·R_S, а при большем значении _ху знаменатель умножается на коэффициент  < 1, зависящий от .

При изгибе относительно двух главных осей (косой изгиб) проверку прочности с учетом пластических деформаций осуществляют по формуле

+  R_y·_c при   0.5·R_S. (4.17)

4.8.3 Основы работы и расчета на устойчивость центрально сжатых стержней

Длинные гибкие стержни исчерпывают несущую способность от потери устойчивости и характеризуются приведенным графиком (рисунок 4.9, б).

При этом, с ростом нагрузки, стержень находится в устойчивом состоянии при N < N_сr, при N = N_сr - стержень начинает резко выпучиваться и в неустойчивом при N > N_сr - теряет несущую способность.

а – расчетная схема; б – зависимость между нагрузкой и прогибом стержня Рисунок 4.9- Работа центрально-сжатого стержня

Строгое определение этих состояний даются на основе энергетических принципов.

При фиксированном N = const, давая стержню возможное перемещение, подсчитываются приращения внешних сил ·N_e и внутренних ·N_i сил.

Если, ·N_i > d·N_e - устойчивое состояние, при d·N_i < d·N_e неустойчивое, при

d·N_i = d·N_e - критическое.

Сила N = N_сr", при которой стержень теряет несущую способность (устойчивость) называется критической.

При описании устойчивости стержней, приращения работ на возможных перемещениях можно заменить приращениями соответствующих моментов dM_e и dM_i.

Рассмотрим два случая:

I. Для идеально упругого и прямолинейного стержня при N=const M_e=NV (V - амплитута прогиба), а M_i =·EJ, (=-у") - кривизна. Задавая форму возможного перемещения стержня по синусоиде у = -V·sin x/_o, получаем =-у" (x=_o/2= ²·V/_o²). Подставляя это значение в M_i иM_e и приравнивая M_i=M_e получим значение первой критической силы (формула Эйлера 1744г.)

N'_cr=²·EJ/_o², (4.18)

тогда, критическое напряжение будет равно

_cr= , (4.19)

где ; =_o/i; _o= · - расчетная длина стержня;

 - коэффициент приведения, зависящий от способа закрепления концов стержня.

Эта формула справедлива при Е = const, т.е. _cr_пц т.к.  и _пц=20 кН/см², то   100. Для сталей повышенной прочности применимость (2.19) ограничена   85.

II. При  меньше предельных, стержни теряют устойчивость в упруго-пластической стадии с касательным модулем упругости Е_t = d/dε <E. Для этого случая проф. Ясинский Ф.С. предложил следующую схему работы стержня при потере устойчивости: N = const, равномерное распределение  по сечению _o = N/A > _пц (рисунок 4.10).

а – эпюра напряжений; б – поперечное сечение стержня Рисунок 4.10- Напряженно-деформированное состояние центрально сжатого стержня в момент потери устойчивости

При прогибе стержня с амплитудой "V", на сжатой стороне "" будут увеличиваться в соответствии с Е_t, а на противоположной стороне на сжатие от N накладывается растяжение от изгиба, т.е. произойдет разгрузка, которая следует упругому закону  = ε·Е. Поэтому, эпюра  будет ассиметричной, нейтральная ось переместится и появится дополнительный эксцентриситет "а" силы N.

Тогда, приращение момента внешней силы будет

δМ_е = N·(V + a), (4.20)

а для внутренних сил приращение определится суммой интегралов по площадям А₁ и А₂:

δМ_i = ₁·y·dA + ₂·y·dA = ρ·(E·J₁ + E·J₂) = ρ·T·J, (4.21)

где Т = (EJ₁ + EJ₂) / J - приведенный модуль деформации.

Тогда, из равенства δМ_е = δМ_i получим формулу для _cr

_cr = (4.22)

или _cr = ; (4.23)

где: λ_ef = ; i_ef = .

Если, деформация сжатия в процессе продольного изгиба растет или остается постоянной, т.е. разгрузка не происходит, то всё сечение находится в пластическом состоянии, характеризуемом касательным модулем деформации Е_t, тогда

_cr = . (4.24)

Так как, на практике не существует идеально прямых стержней и идеальных условий центрального приложения силы N, то в практических расчетах вводится некоторый эквивалентный эксцентриситет сжимающей силы е_ef, который зависит от технологии изготовления, транспортировки, монтажа, решения узлов и т.д.

Поэтому, по I-му предельному состоянию устойчивость сжатого стержня будет обеспечена, если  =  _cr·γ_c. Умножив и поделив правую часть на R_y и введя обозначение

= φ, (4.25)

называемое коэффициентом устойчивости (продольного изгиба) получим

 = < φ·R_y·γ_c или < R_y·γ_c. (4.26)

Коэффициент φ имеет двойственную природу:

φ = = · = φ₁·φ₂, (4.27)

φ₁ зависит от гибкости и марки стали

φ₁ = , (4.28)

где - условная гибкость.

В упругой стадии Т = Е, значит φ₁ = .

Коэффициент φ₂ зависит от λ, а наименьшее его значение соответствует средней λ =100.

Коэффициент φ принимается по таблице 72 СНиП или подсчитывается по формулам 8, 9 или 10 СНиП

при 0 <  2.5 – φ = 1 – 0.066· · ; при 2.5 <  4.5 – φ = 1.46 – 0.34· + 0.021· 2; при > 4.5 – φ = .

(4.29)

При этом, для учета формы сечения, все стержни разделены на 3 группы: