Л.И. Магазинников

Высшая математика IV

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Контрольные работы №11

Вариант 1

Контрольная работа №11

Задача 1

Подброшены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна пяти.

Решение:

Подброшены две игральные кости при этом может выпасть на каждой кости цифра от 1 до 6. Пространством элементарных событий  состоит из 36 точек: (1,1), (1,2), …, (1,6), (2,1), …, (2,6), …, (6,1), …,(6,6). Событие А (сумма выпавших очков равна пяти) состоит из 4 точек: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1).

Тогда Р(А) = .

Ответ: .

Задача 2

События А и В независимы. Вероятность наступления хотя бы одного из них равна 0,76, а ровно одного – 0,52. Найти Р(А) и Р(В), если Р(А) > Р(В). В ответ записать Р(А), а затем Р(В) в виде десятичной дроби.

Решение:

Поскольку события А и В независимы, то вероятность наступления хотя бы одного из них: или , а вероятность наступления ровно одного или . Так. как Имеем систему:

.

Ответ: 0,6; 0,4.

Задача 3

Рабочий обслуживает три станка. Первый станок может требовать ремонта с вероятностью р₁ = 0,2; второй – р₂ = 0,3; а третий – р₁₃ = 0,4. Найти вероятность того, что не более двух станков потребует ремонта. Ответ ввести в виде десятичной дроби.

Решение:

Обозначим события:

А_i – i станок требует ремонта, i = {1, 2, 3}.

А – ремонт потребуется не более двум станкам;

– ремонт потребуется всем трем станкам.

События А и противоположны, поэтому А + = , Р(А+) = Р(А) + Р() = 1. Т.е. Р(А) = 1 – Р().

= А₁  А₂  А₃, (т.к. А_i – независимы). Р() = р₁  р₂  р₃ = 0,024. Тогда Р(А) = 0,976.

Ответ: 0,976

Задача 4

Ключи К₁, К₂, К₃ соединены по указанной схеме. Вероятность того, что они замкнуты равны 0,2; 0,4; 0,6. При включении в сеть цепь MN оказалась замкнутой. Найти вероятность того, что при этом ключи К₂ и К₃ были замкнуты, а К₁ разомкнут.

Решение:

Из условия: Р(К₁) = 0,2; Р(К₂) = 0,4; Р(К₃) = 0,6.

Обозначим события:

А – цепь замкнута;

А₁ – К₁, К_2, К₃ замкнуты;

А₂ – К₁, К₃ замкнуты, К₂ – разомкнут;

А₃ – К₂, К₃ замкнуты, К₁ – разомкнут.

Найдем вероятности событий А_i:

Р(А₁) = Р(К₁)  Р(К₂)  Р(К₃) = 0,2  0,4  0,6 = 0,048;

Р(А₂) = Р(К₁)  Р(К₃)  (1 – Р(К₂)) = 0,2  0,6  0,6 = 0,072;

Р(А₃) = Р(К₂)  Р(К₃)  (1 – Р(К₁)) = 0,4  0,6  0,8 = 0,192.

Р(А|А₁) = Р(А|А₂) = Р(А|А₃) = .

По формуле полной вероятности получаем:

Р(А) = Р(А|А₁)  Р(А₁) + Р(А|А₂)  Р(А₂) + Р(А|А₃)  Р(А₃) =

Найдем апостериорную вероятность события А₃:

Р(А₃) = .

Ответ: .

Задача 5

Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Случайные величины Y – число попаданий, Z – число промахов, X = |Y – Z|. Найти (все ответы вводить в виде десятичной дроби): а) ряд распределения Х; б) функцию распределения F(x), в ответ ввести F(1,5); в) m_x; г) D_x; д) Р(1,5  Х  2,5).

Решение:

а) Найдем ряд распределения X:

Случайная величина Х может принимать следующие значения:

х₁ = 0 (Y = 1, Z = 1);

х₂ = 2 (Y = 0, Z = 2; Y = 1, Z = 1).

Запишем ряд распределения Х:

Х	х1	х2
Р	р1	р1

р₁ = 0,6  0,4 + 0,4  0,6 = 0,48;

р₂ = 0,6  0,6 + 0,4  0,4 = 0,52.

Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

Х	0	1
Р	0,48	0,52

б) Найдем функцию распределения F(x):

Пользуясь соотношением , получим

Тогда F(1,5) = 0,48.

в) Найдем m_x:

По формуле M[X] = получим m_х = 0  0,48 + 2  0,52 = 1,04.

г) Найдем D_x:

По формуле D[X] = получим

D_х = 1,04²  0,48 + 0,96²  0,52  0,9984.

д) Найдем Р(1,5  Х  2,5):

Р(1,5  Х  2,5) = F(2,5) – F(1,5) = 1 – 0,48 = 0,52.

Ответ:

Х	0	1
Р	0,48	0,52

F(1,5) = 0,48; m_х = 1,04; D_х = 0,9984; Р(1,5  Х  2,5) = 0,52.

Задача 6

Случайная величина Х задана плотностью распределения . Найти (ответы вводить в виде десятичных дробей): а) константу А; б) функцию распределения F(x), в ответ записать F(–1), F(1), приняв е^–2 = 0,135; в) m_x; г) D_x; д) Р(–1  Х  1), ответ округлить до 0,001.

Решение:

а) Найдем константу А:

Так как , тогда .

Т.е. А = 1.

б) Найдем функцию распределения F(x):

F(x) найдем по формуле .

х  0. Тогда

,

х < 0. Тогда

в) Найдем m_x:

Функция нечетна, поэтому m_х = 0.

г) Найдем D_x:

По формуле D_х = получим

д) Найдем Р(–1  Х  1):

Р(–1  Х  1) = F(1) – F(–1) = 0,865.

Ответ:

А = 1; ; ; m_х = 0; ; Р(–1  Х  1) = 0,865.

Задача 7

Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонения Х ее контролируемого размера от проектного не превышает 15 мм. Величина Х нормальна m_x = 0, _х = 10 мм. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат? Ответ округлить до целых.

Решение:

Р (|Х – m_x| < ) того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания на величину, меньшую . Найдем по формуле Р (|Х – m_x| < ) = . Получаем Р (|Х | < 15) = = 2  0,4332 = 0,8664. (таблица значений функции Лапласа).

Получили, что с вероятностью 0,8664 автомат изготавливает годную деталь (т.е. с отклонением не превышающим 15 мм). В процентах это будет 86,64%  87%.

Ответ: 87%