§9. Свертка. Изображение свертки.
О
пределение.
Сверткой
двух функций-оригиналов
называется интеграл
.
Свертки обладают следующими свойствами:
Теорема об изображении свертки.
Если
и
,
то
.
Примеры 1-6. Восстановить оригинал, используя определение свертки.
Решение.
;
Решение.
;
В следующих примерах для восстановления оригиналов будем использовать таблицу сверток, приведенную в конце пособия.
Решение.
.
По таблице сверток находим, что
Решение.
По
таблице сверток находим, что это
соответствует оригиналу
.
Решение.
По таблице сверток находим, что эта свертка соответствует оригиналу
.
Решение.
,
а это соответствует оригиналу
Вопросы для самопроверки
Дайте определение свертки
Сформулируйте теорему об изображении свертки
Примеры для самостоятельного решения.
Восстановить оригиналы, используя свертку.
1)
|
3)
|
2)
|
4) |
;
;
;
Ответы.
1)
|
3)
|
2) |
4)
|
;
;
;
;
§ 10.Восстановление оригиналов по изображению.
Заключительный
шаг схемы применения операционного
исчисления состоит в нахождении оригинала
по полученному изображению, этот шаг
или эту операцию называют обратным
преобразованием Лапласа и символически
записывают следующим образом:
.
Раcсмотрим основные способы восстановления оригиналов по изображениям.
П.1 Восстановление оригиналов с помощью таблиц.
Этот способ является самым простым, но удобен в применении только, если изображение легко сводится к табличному виду элементарными преобразованиями.
Пример1.
Найти оригинал изображения
.
Решение.
Приведем к табличному виду
Пример
2. Найти
оригинал изображения
Решение.
Приведем к табличному виду
По
таблице получаем, что
.
Пример
3. Найти
оригинал изображения
Решение.
Приведем
к табличному виду:
Примеры для самостоятельного решения.
Найти оригинал изображения.
1)
|
3) |
2)
|
4)
|
;
;
;
.Ответы :
1)
|
3)
|
2)
|
4)
|
;
;
;
.
П.2 Восстановление оригиналов с помощью свертки.
Этот вопрос подробно был рассмотрен в § 9, поэтому сразу перейдем к примерам.
Пример
1. Восстановить
оригинал следующего изображения :
.
Решение.
Преобразуем изображение к виду удобному для применения теоремы о свертке.
.
По таблице сверток находим, что оригинал для этого изображения имеет вид :
.
Пример
2. Восстановить
оригинал следующего изображения :
.
Решение.
Преобразуем изображение к виду удобному для применения теоремы о свертке:
.
По
таблице сверток находим, что оригинал
для этого изображения имеет вид:
.
Примеры для самостоятельного решения можно взять из §7.
П.3 Нахождение оригиналов с помощью разложения дроби на сумму простейших.
Если изображение
является правильной дробью, то методом
неопределенных коэффициентов эту дробь
можно представить в виде суммы простейших
дробей I-IV типов так, как это делалось
при интегрировании рациональных дробей.
При этом дробь 1-го типа
соответствуют оригиналу
,
дробь 2-го типа
соответствует
оригиналу
,
дробь 3-го типа сначала преобразовывается
к виду:
,
а затем по таблице определяется оригинал:
.
Выполнив аналогичные преобразования для дробей 4-го типа, можно найти для них оригиналы или по таблицам, или с помощью свертки.
Пример
1. Найти
оригинал следующего изображения:
Решение.
Представим эту дробь в виде суммы простейших дробей:
.
Найдем A , B, C, D методом неопределенных коэффициентов.
2p²-4p+8=A(p-2)(p²+4)+B(p²+4)+(p-2)²(Cp+D)
При
p=2 8=8B , т.е. B=1
: 0=A+C
: 2=-2A+B+D-4C
: -4=4A+4C-4D D=1(A+C=0)
A=0,
C=0
Получили,
что F(p)=
.
Применяя
теоремы линейности и затухания, находим
оригинал:
.
Пример 2.
Найти
оригинал следующего изображения:
Решение.
Представим
в виде суммы простейших дробей:
,т.е.
.
Приравниваем коэффициенты при равных степенях:
: 14=9B+4D
: 0=9A+4C
1=B+D
0=A+C. Решая
соответствующие системы, получаем,
что
A=0; C=0; B=2; D=-1 .
,т.е.
.
При решении этих задач использовались теоремы единственности, линейности, затухания, таблица оригиналов и изображений.