§5. Изображение кусочно - непрерывных функций.
Примеры. Построить график оригинала, записать его одним аналитическим выражением, найти изображение.
1)
Решение.
;
2)
Решение:
Приведём оригинал к виду, удобному для получения изображения.
Применяя
свойства линейности и теорему запаздывания
, получаем
;
3)
Решение:
Приведём
оригинал к виду, удобному для получения
изображения
.
Примеры 1-4 для самостоятельного решения.
Построить график, записать одним аналитическим выражением, найти изображение.
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
;
;
;
.Ответы:
1)
;
2)
3)
Примеры 5-6. По графику записать оригинал, представить его одним аналитическим выражением, найти изображение.
5)
Решение:
Приведем к виду, удобному для применения свойства линейности и теоремы запаздывания, получаем
6)
Оригинал:
Запишем оригинал одним аналитическим выражением, чтобы применить теорему запаздывания
Тогда
;
Примеры для самостоятельного решения.
По графику найти оригинал, представить его одним аналитическим выражением и найти изображение.
1) 2)
3) 4)
Ответы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
§ 6. Применение теорем о дифференцировании оригинала и изображения для нахождения изображений.
Теорема о дифференцировании оригинала .
Если
,
то
,
где
Следствие.
Если
,
то
,
Пример1.
Найти
изображение
Решение.
Теорема о дифференцировании изображения.
Если
,
то
.
Следствие.
Если
,
то
.
Пример
2.
Найти изображение
.
Решение:
Т.
к.
,
то
,
т.е.
,
т.е.
Так как
,
то
.
Пример
3.
Найти изображение
.
Решение:
,
т.е.
.
Пример
4.
Найти изображение
.
Решение:
Вопросы для самопроверки
Сформулируйте теорему о дифференцировании оригинала
Сформулируйте теорему о дифференцировании изображения
Примеры 1-6 для самостоятельного решения.
Найти изображение с помощью теорем о дифференцировании оригинала и изображения.
1)
,
если
;
2)
,
если
;
3)
; 4)
; 5)
;6)
;
Ответы:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
§ 7. Изображение интеграла от оригинала.
Теорема об интегрировании оригинала.
Если
,
то
.
Примеры. Найти оригинал и изображение:
1)
; 2)
;
3)
;
Решение.
1)
-
по теореме об изображении интеграла.
|
|
2)
|
|
3)
|
|
|
Вопросы для самопроверки 1.Сформулируйте теорему об интегрирования оригинала |
, тогда
.
,
отсюда
.
;
,
т.о.
.Примеры для самостоятельного решения.
Найти изображения следующих интегралов
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5)
|
6)
|
;
;
;
;
;
Ответы:
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5)
|
6)
|
;
;
;
;
§ 8. Изображение периодического оригинала.
Теорема. Если
-
периодический
оригинал с периодом
,
то его изображение определяется по
формуле
.
На
практике же для нахождения изображения
периодического оригинала
вводят
функцию
,
которую представляют в виде
.
Изображение этой функции обозначают
и находят с помощью рассмотренных ранее
методов, а изображение функции
можно выразить
по формуле
.
Примеры
1)Найти
изображение последовательности
единичных прямоугольных импульсов
длительности
повторяющихся с периодом
.
Решение. Изобразим последовательность импульсов:
Запишем оригинал и найдем изображение
,
,
2) Найти изображение “пилообразной” функции:
Решение. Запишем оригинал и найдем его изображение:
3
)
Найти изображение следующей периодической
функции:
Решение.
,
.
Вопросы для самопроверки
Сформулируйте теорему об изображении периодического оригинала
Примеры для самостоятельного решения.
Найти изображения следующих периодических функций:
1) |
2) |
3 |
4) |
5 |
6) |
)
)
О
тветы.1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
.