§ 3. Преобразование Лапласа. Изображение оригинала. Основные свойства изображения.

Определение. Изображением функции - оригинала называется функция комплексной переменной , определяемая формулой .

Интеграл в правой части равенства называется интегралом Лапласа.

Определение. Преобразование, ставящее в соответствие оригиналу его изображение называют преобразованием Лапласа.

Теорема. Для всякого оригинала существует изображение , определённое в полуплоскости , где — показатель роста , причём связь между и является взаимно – однозначной.

Соответствие изображения оригиналу можно обозначать следующим образом: , а соответствие оригинала изображению таким образом: .

Пример 1. Найти изображение функции Хэвисайда :

Таким образом , если .

Перечислим основные свойства преобразования Лапласа.

Свойство линейности.

Если , а , то при любых

.

Свойство затухания.

Если , то .

Свойство подобия.

Если , то для любого .

С помощью основных свойств преобразования Лапласа и найденного ранее изображения функции , получим изображения следующих оригиналов : , , , , , , , , , которые затем поместим в таблицу.

Найдем изображение константы с.

.

Далее воспользуемся формулами Эйлера, чтобы найти изображение остальных функций:

,	,
,	;

Используя свойства затухания и линейности получаем :

;

;

;

.

Применяя свойство затухания, получаем:

;

;

;

.

Примеры 1-4. Найти изображение следующих оригиналов

1) ;

2) ;

3) ;

4)

Решение.

Сначала оригиналы приводим к табличному виду, а затем находим их изображения:

1)

2)

3)

4)

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение изображения

2. Сформулируйте теорему линейности

3. Сформулируйте теорему подобия

4. Сформулируйте теорему затухания

Примеры для самостоятельного решения.

Найти изображения следующих оригиналов:

1) ;	2) ;	3) ;	4)
Ответы: 1) ;		2) ;	3)
4)

§4. Применение теоремы запаздывания для нахождения изображений запаздывающих процессов.

Теорема. Если .

Т.о., запаздывание оригинала на время соответствует умножению изображения на .

Примеры 1-4. Построить графики и найти изображения следующих оригиналов: 1)

Решение. Построим график

Так как , то ;

2)

Решение. Так как , то ;

3)

Решение. Так как , то ;

4)

Решение.

Т.к. ;

Чтобы воспользоваться теоремой запаздывания нужно преобразовать оригинал к удобному для получения изображения виду, т.е.

;

5)

Р ешение. Преобразуем оригинал:

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теорему запаздывания.

Примеры 1-4 для самостоятельного решения.

Построить графики и найти изображения следующих оригиналов:

1) ;	2) ;	3) ;
4)

О тветы:

1 )

2)

3)	4)