31

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПО РЫБОЛОВСТВУ

МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МАТЕМАТИКА

Методические рекомендации

по выполнению контрольной работы по теме

«Элементы операционного исчисления»

для студентов 2-3 курсов вечерне-заочного факультета

Мурманск 2015

Составитель – Хохлова Людмила Ивановна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения МИС и ПО МГТУ

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой

_______________ 2015 г., протокол №

Рецензент – Р. А. Богомолов, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения МИС и ПО МГТУ МГТУ

Оглавление Оглавление

§ 1. Оригиналы. 4

§ 2. Единичная функция Хэвисайда. Запись оригиналов с помощью функции Хэвисайда. 5

§ 3. Преобразование Лапласа. Изображение оригинала. Основные свойства изображения. 7

§4. Применение теоремы запаздывания для нахождения изображений запаздывающих процессов. 9

§5. Изображение кусочно - непрерывных функций. 12

§ 6. Применение теорем о дифференцировании оригинала и изображения для нахождения изображений. 16

§ 7. Изображение интеграла от оригинала. 17

§ 8. Изображение периодического оригинала. 18

§9. Свертка. Изображение свертки. 20

§ 10.Восстановление оригиналов по изображению. 22

П.2 Восстановление оригиналов с помощью свертки. 23

П.4. Нахождение оригиналов с помощью теоремы запаздывания. 25

§ 11. Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 26

§ 12. Применение операционного исчисления к решению систем линейных дифференциaльных уравнений. 27

29

Таблица оригиналов и изображений. 29

Таблица сверток оригиналов. 30

Образец решения контрольной работы. 32

Задания контрольной работы 34

§ 1. Оригиналы.

Определение. Оригиналом называется любая однозначная функция действительной переменной , определённая на всей числовой прямой и удовлетворяющая условиям:

1) при ;

2) кусочно- непрерывна при ;

3) , где и - постоянные, называется показателем роста функции .

Примеры. Установить какие из функций являются оригиналами и найти для них показатели роста :

Замечание. Будем считать, что условие 1) выполняется для всех функций, т.к. это соответствует реальным физическим задачам.

Решение.

1) — является оригиналом, т.к. функция непрерывна на всей числовой прямой и начиная с некоторого t, причем -любое положительное действительное число;

2) — оригиналом не является, т.к. имеет в точке t =0 бесконечный разрыв;

3) — оригинал , т.к. ;

4) — оригиналом не является, т.к. имеет точки бесконечного разрыва; 5) является оригиналом, т.к. функция непрерывна на всей числовой прямой и , т.е. ;

6) — оригиналом не является, т.к. имеет в точке бесконечный разрыв;

7) — оригинал, т.к. функция непрерывна на всей числовой прямой и , т.е. ;

8) — оригиналом не является, т.к. не выполняется условие 3) для этой функции.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение оригинала

2. Дайте определение показателя роста оригинала

Примеры для самостоятельного решения.

Установить являются ли следующие функции оригиналами :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;6) ;7) ;8) Ответы: 1) да, ; 2) нет; 3) нет; 4) да, ; 5) нет ; 6) да, ; 7) да, ; 8) да , ; 9) да, .

§ 2. Единичная функция Хэвисайда. Запись оригиналов с помощью функции Хэвисайда.

Определение. Единичной функцией Хэвисайда называется функция .

График этой функции выглядит следующим образом:

С помощью этой функции оригиналы можно записывать в аналитическом виде.

Пример 1. Построить график и записать единым аналитическим выражением .

Решение.

П ример 2. Построить график и записать единым аналитическим выражением

Решение.

О пределение. Смещенной единичной функцией Хэвисайда называется функция , .

Число - это “ задержка ” или смещение этой функции.

График смещённой функции Хэвисайда выглядит следующим образом.

С помощью функции Хэвисайда, любую функцию можно “включить с задержкой “ путём умножения на .

Пример 3. Построить график и записать единым аналитическим выражением .

Решение.

Пример 4. Построить график и записать единым аналитическим выражением .

Р ешение.

Примеры для самостоятельного решения

Построить графики следующих оригиналов

1. ; 2) ; 3) ; 4)

Ответы:

1)	2)
3)	4)

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение функции Хевисайда

2. Дайте определение смещенной функции Хевисайда