§ 5. Эллиптический параболоид

Эллиптический параболоид – это поверхность, заданная каноническим уравнением

. (1)

Эллиптический параболоид симметричен относительно координатных плоскостей   и  , а относительно плоскости   симметрии не имеет. Если его пересечь плоскостью  , то увидим, что при   плоскость   не пересекается с эллиптическим параболоидом, при   в сечении получается единственная точка – начало координат, которая называется вершиной эллиптического параболоида (1), а при   линией пересечения является эллипс с полуосями  . Таким образом, и эллиптический параболоид состоит из расширяющихся эллипсов.

Пересечём теперь эту поверхность плоскостью  . В сечении получаем кривую, заданную уравнением

,

Которое после преобразований принимает вид:

  . (2) Из (2) видно, что плоскости, параллельные плоскости  , пересекают поверхность эллиптического параболоида по параболам, имеющим

Одинаковые фокальные параметры (т. е., по конгруэнтным параболам), ветви которых направлены в сторону положительного направления оси

, причём с ростом   вершина параболы смещается вверх. На рис. 1 изображены проекции этих парабол на плоскость  . То же самое имеем и при пересечении плоскостями  . Уравнения линий пересечения:

,

При проектировании их на плоскость   получаем картинку, изображённую на рис. 2. Сам же эллиптический параболоид изображён на рис. 3. При   эллиптический параболоид называется параболоидом вращения.

§ 6. Гиперболический параболоид

Гиперболическим параболоидом мы назвали поверхность, каноническое уравнение которой выглядит так:

.

Гиперболический параболоид, так же, как и эллиптический, симметричен относительно координатных плоскостей   и  , а относительно плоскости   не имеет симметрии.

Пересечём эту поверхность плоскостью  . В сечении получаем кривую, заданную уравнением:

.

Из него мы видим, что плоскости, параллельные плоскости  , пересекают поверхность гиперболического параболоида по параболам, имеющим одинаковые фокальные параметры (т. е., по конгруэнтным параболам), их ветви направлены в сторону отрицательного направления оси  , причём с ростом   вершина параболы смещается вверх. На рис. 1 изображены проекции этих парабол на плоскость  . Если же пересечь гиперболический параболоид плоскостями  , то в сечениях получаем кривые

,

Т. е. опять конгруэнтные параболы, но их ветви направлены в сторону положительного направления оси  , а с ростом   вершина параболы смещается вниз. При проектировании их на плоскость   получаем

картинку, изображённую на рис. 2.

Т еперь пересечём гиперболический параболоид плоскостью  . В сечении получается кривая, заданная уравнением

. (1)

При   это уравнение задаёт пару пересекающихся прямых

Р ис. 3

. (2)

Если  , то плоскость   пересекает гиперболический параболоид по гиперболам

,

А симптотами которых являются прямые (2), действительной осью – ось  , причём с ростом  вершины этих гипербол удаляются от центра (от оси  ). Если же  ,

То уравнение (1) задаёт гиперболы

С теми же самыми асимптотами, но с осью   в качестве действительной. Проекции линий пересечения гиперболического параболоида плоскостями   на плоскость   изображены на рис. 3, а сам гиперболический параболоид - на рис. 4. Эта поверхность напоминает седло, часто её так и называют.