§3. Однополостный гиперболоид

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая задаётся каноническим уравнением:

. (1)

Так же, как и конус второго порядка, эта поверхность симметрична относительно всех координатных плоскостей, всех координатных осей и относительно начала координат, но, в отличие от конуса, через начало координат не проходит. Пересекая её плоскостью  , получаем кривую с уравнением

,

Которое после преобразований принимает вид

И задаёт эллипс с полуосями:

. (2)

Таким образом, как и конус второго порядка, однополостный гиперболоид состоит из расширяющихся эллипсов. Самый малый эллипс получаем при  . Он называется горловым эллипсом.

Сравнивая (2) и (4) §2, видим, что     и  . Таким образом, если однополостный гиперболоид (1) и конус второго порядка

 (3)

Пересечь одной и той же плоскостью  , то эллипс для конуса находится внутри эллипса для гиперболоида, значит конус (3) лежит внутри гиперболоида (1). Кроме того,

. Аналогично получаем, что  , т. е. при неограниченном удалении от плоскости   однополостный гиперболоид (1) бесконечно близко приближается к конусу (3), который поэтому называется его асимптотическим конусом.

Пересекая однополостный гиперболоид (1) плоскостью   в сечении получаем гиперболу

Рис. 1   с действительной осью - осью  . При пересечении же его плоскостью  , получаем гиперболу   с действительной осью – осью  . Однополостный гиперболоид изображен на рис. 1. При   он называется однополостным гиперболоидом вращения.

§4. Двуполостный гиперболоид

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная каноническим уравнением

. (1)

Так же, как и конус второго порядка и однополостный гиперболоид, эта поверхность симметрична относительно всех координатных плоскостей, всех координатных осей и относительно начала координат, но опять же, в отличие от конуса, через начало координат не проходит. Пересекая двуполостный гипребролоид плоскостью   получаем кривую с уравнением

. (2)

Из (2) видно, что при   плоскость   не пересекается с двуполостным гиперболоидом (1), каждая из плоскостей   и   пересекает двуполостный гиперболоид в одной точке. Эти точки   и   называются вершинами двуполостного гиперболоида. Если же  , то линией пересечения является эллипс

С полуосями

Рис. 1  . (3)

Наряду с гиперболоидом (1) опять же рассмотрим конус

. (4)

Пересекая гиперболоид (1) и конус (4) одной и той же плоскостью   и сравнивая (3) и (4) §2, делаем вывод:    и  , т. е. двуполостный гиперболоид (1) лежит внутри конуса (4). Так же, как и в §3, получаем:

 и  ,

Откуда видно, что при неограниченном удалении от плоскости   двуполостный гиперболоид (1), так же как и однополостный, бесконечно близко приближается к конусу (4) (только уже изнутри), который также называется его асимптотическим конусом.

Пересекая гиперболоид (1) плоскостью  , в сечении получаем гиперболу  , а пересекая его плоскостью   - гиперболу  . Для обеих этих гипербол действительной является ось  .

Двуполостный гиперболоид изображён на рис. 1.