35. Гиперболоиды однополостной и двуполостной гиперболоиды

        Определение 13.4   Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

(13.6)

где   ,   ,    -- положительные числа.         

Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью   . На этой плоскости   , поэтому

Это уравнение на плоскости   задает эллипс с полуосями   и   (рис. 13.8). Найдем линию пересечения с плоскостью   . На этой плоскости   , поэтому

Это уравнение гиперболы на плоскости   , где действительная полуось равна   , а мнимая полуось равна   . Построим эту гиперболу (рис. 13.8).

Рис.13.8.Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями

Сечение плоскостью   также является гиперболой с уравнением

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью   (рис. 13.9).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями   ,   . Уравнения этих линий

Первое уравнение преобразуем к виду

то есть к виду

(13.7)

где   ,   . Уравнение (13.7) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости   , с коэффициентом подобия   и полуосями   и   . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.9).

Рис.13.9.Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений

Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рисунке 13.10.

Рис.13.10.Однополостный гиперболоид

Если в уравнении (13.6)   , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости   , являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости   , вокруг оси   (рис. 13.11).

Рис.13.11.Однополостный гиперболоид вращения

        Определение 13.5   Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

(13.8)

где   ,   ,    -- положительные числа.         

Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью   . На этой плоскости   , поэтому

Координаты ни одной точки плоскости   не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью   . На этой плоскости   , поэтому

Это уравнение гиперболы на плоскости   , где действительная полуось равна   , а мнимая полуось равна   . Построим эту гиперболу (рис. 13.12).

Рис.13.12.Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью 

Сечение плоскостью   также является гиперболой, с уравнением

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью   (рис. 13.13).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями   ,   . Уравнения этих линий

Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если   . Если   или   , то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку   или   . Эти точки называютсявершинами гиперболоида.

Пусть   . Первое уравнение преобразуем к виду

то есть к виду

(13.9)

где   ,   . Уравнение (13.9) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости   , с коэффициентом подобия   и полуосями   и   . Нарисуем полученные сечения (рис. 13.13).

Рис.13.13.Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений

Привычное для глаза изображение двуполостного гиперболоида приведено на рисунке 13.14.

Рис.13.14.Двуполостный гиперболоид

Если в уравнении (13.8)   , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости   , являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости   , вокруг оси   (рис 4.15).

Рис.13.15.Двуполостный гиперболоид вращения