3. Необходимое условие экстремума функции одной переменной.

Необходимое условие экстремума функции одной переменной – это теорема Ферма.

Теорема: если функция y=f’(x)имеет экстремум в точке , то f’( =0 или f’( не существует.

4. Первое достаточное условие экстремума функции одной переменной.

Пусть f’(x) непрерывна и дифференцируема в окрестности точки за исключеним, быть может, самой точки .

Тогда Из этого следует, что точка - точка локального максиума.

Из этого следует, что точка - точка локального минимума.

5. Второе и третье достаточные условия экстремума функций одной переменной.

2. Если в точке f’( )=0, а , тогда если , то точка - точка локального максимума, а если , то точка - точка локального минимума.

3. Пусть f(x) опеределена в некоторой окрестности точки , ,

Тогда точка является:

1. Если K четное и , то точка - точка локального максимума.

2. Если K четное и , то точка - точка локального минимума.

3. Если K нечетное, то экстремума нет.

6. Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба функции. Теорема о существовании выпуклости, вогнутости.

Кривая называется выпуклой(вверх) если все точки этой кривой расположены ниже любой касательной, проведенной к этой кривой.

Кривая называется вогнутой (выпкуклой вниз) если все точки этой кривой расположены выше любой касательной, проведенной к этой кривой.

Пусть y=f’(x) определена и дважды дифференцируема на интервале (a,b). Тогда если f’’(x)<0 для любого х, принадлежащего интервалу (a,b), то кривая выпукла. Если f’’(x)>0 для любого х, принадлежащего интервалу (a,b), то кривая вогнута.

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки и дважды дифференцируема в этой точке. Тогда если при переходе через точку кривая меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, то точка называется точкой перегиба.

7. Теоремы о необходимом и достаточном условии существования точек перегиба.

Необходимое условие перегиба :

Пусть f(x) дважды дифференцируема в точке . Тогда если точка является точкой перегиба, то f’’( )=0

Достаточное условие перегиба:

Пусть f(x) орпеделена и непрерывна в некоторой окрестности точки и дважды дифференцируема в этой точке, и f’’( )=0, и при переходе через точку f’’ меняет свой знак. Тогда точка - точка перегиба.

8. Асимптоты кривой.

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от произвольной точки кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки в бесконечность.

Вертикальная асимптота. Если в точке функция имеет разрыв второго рода, то прямая x= является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота. Y=kx+b. . Если этот предел конечен, то ищем b. . Если этот предел конечен, то y=kx+b является наклонной асимптотой. Если k=0, то получим горизонтальную асимптоту y=b.