5. Обратная матрица. Способ нахождения обратной матрицы.

Матрица A ^{− 1} называется обратной к квадратной матрице A n –го порядка, если A · A ^{− 1} = A ^{− 1} · A = E, где E — единичная матрица n –ого порядка.

Способ нахождения обратной матрицы.

1)Сначала проверим является ли А квадратной, т.е. совпадают ли n и k.

2)Затем проверим равен ли определитель мартицы А нулю. Если он равен нулю, то обратной матрицы не существует.

3)С помощью матрицы алгебраических дополнений

 — транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A⁻¹ и будет обратной.

Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

6. Матричная запись системы линейных уравнений и решение системы в матричной форме.

Матричная запись системы линейных уравнений , где   — основная матрица системы,   и   — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Решение системы в матричной форме. Первоначально надо проверить, имеет ли система уравнений решение по теореме Кронекера-Копелли. Затем для решения матричным методом необходимо ввести в рассмотрение матрицы-столбцы для неизвестных X и свободных членов B. Тогда систему линейных уравнений можно записать в матричной форме AX=B. Умножив это матричное уравнение на A^-1, получим A^-1AX= A^-1B, откуда EX=X=A^-1B. Следовательно, матрица-решение X легко находится как произведение A^-1 и B.

7. Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Правило Крамера.

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид

Правило Крамера.

Дана система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

8. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных (то есть приведение матрицы к треугольному или трапециевидному виду).

9. Ранг матрицы, его вычисление. Теорема Кронекера-Капелли.

Ранг матрицы, его вычисление.Одним из способов вычисления ранга матрицы является метод окаймления миноров.

Другой способ вычисления ранга матрицы основан на применении элементарных преобразований матрицы и использовании следующих утверждений.

1) Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.

2) Элементарные преобразования матрицы не изменяют её ранг.

Теорема Кронекера-Капелли.Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

10. Исследование решений систем линейных алгебраических уравнений.

1. Δ ≠0 система имеет единственное решение

2. Δ=0, а хотя бы один из вспомогательных ≠0, то решений нет

3. Δ= Δ1= Δ2= Δ3=0 бесчисленное множество решений

Тема 2. Векторная алгебра

1. Основные понятия векторной алгебры. Линейные операции над векторами. Угол между векторами.

Вектор - это направленный отрезок, который имеет начало и конец.

Длиной ненулевого вектора  называется длина отрезка AB.

Нулевой вектор — вектор, начало которого совпадает с его концом.

Орты – единичный вектор.

Чтобы сложить два вектора, нужно от конца одного из них отложить второй вектор; тогда сумма – это вектор с началом в начале первого вектора и концом в конце второго вектора:  .

Разностью двух векторов  и   называется такой третий вектор  , который равен сумме векторов  и  .

Угол между векторами — угол между направлениями этих векторов (наименьший угол).