Справочный материал по теме "Элементы теории функций. Комплексные числа"

1. Функции и их свойства

Переменной называют величину x  X, принимающую значения из некоторого множества значений Х.

Если каждому значению переменной х из множества Х поставлено в соответствие по определенному правилу f единственное значение пере-менной у из множества Y, то говорят, что задана функция , определенная на множестве Х с множеством значений Y. При этом используют следующие названия:

х – аргумент (независимая переменная);

у – значение функции (зависимая переменная);

Х – область определения функции (ООФ);

Y – множество значений функции (ОЗФ).

Функция , область определения Х которой симметрична относительно начала координат, называется четной, если , и называется нечетной, если ,  .

Примеры. y = cos x – четная функция, y = x³ – нечетная функция, – функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

Функция называется периодической, если существует положительное число Т, такое, что , x  X.

Примеры. y = tg x – периодическая функция, наименьший период T = π, y = ln x – непериодическая функция.

Значение функции – переменная величина, поэтому можно рассматривать новую функцию с аргументом у: z = g (y), где , т. е. функцию z = g (f (x)). Такая функция называется сложной функцией от х, или суперпозицией функций f и g.

Пример. z = tg (х² + 3x – 1) – суперпозиция функций z = tg у и у = х² + 3x – 1.

Если ставится в соответствие единственное значение , такое, что , то говорят, что задана функция , которую называют обратной по отношению к функции . Функции f и называются взаимно обратными функциями. Если у обратной функции обозначить аргумент буквой х, а функцию – буквой у, то графики взаимно обратных функций и будут симметричны относительно прямой у = х.

Пример. y = lg x и y = 10^x – взаимно обратные функции.

Все функции, задаваемые аналитическим способом, можно разбить на два класса: элементарные и неэлементарные. В классе элементарных функций выделяют основные элементарные функции: степенная (у = xⁿ), показательные (y = a^x), тригонометрические (y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x), а также обратные к ним (логарифмические, обратные тригонометрические и др.). Элементарными называют функции, полученные из основных элементарных функций при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления, а также суперпозиции основных элемен-тарных функций. Все остальные функции относятся к неэлементарным.

Примеры. y = lg (cos x) – элементарная функция, так как является суперпозицией основных элементарных функций y = lg x и y = cos x; – неэлементарная функция.

Нулями функции называют точки х, в которых выполнено равенство . Нули функции – это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Oх.

Пример. У функции y = lg (x) единственный нуль – точка х = 1.

Функция называется монотонно возрастающей на интервале х  (а; b), если для любых двух точек х₁ и х₂ этого интервала из неравенства х₂  х₁ следует неравенство , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.

Функция называется монотонно убывающей на интервале х  (а; b), если для любых двух точек х₁ и х₂ этого интервала из неравенства х₂  х₁ следует неравенство .

Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности функции.

Если функция монотонна на интервале х  (а; b), то она имеет обратную функцию .

Пример. Функция y = tg x монотонна на интервале , ее ОЗФ: . Она имеет обратную функцию y = arctg x, определенную на интервале , с ОЗФ: .

Точка х₀ называется точкой максимума функции , если суще-ствует такая двухсторонняя окрестность точки х₀, что для всякой точки х  х₀ этой окрестности выполняется неравенство . При этом число называется максимумом функции и обозначается y_max.

Аналогично, если для всякой точки х  х₀ из некоторой окрестности точки выполняется неравенство , то называется точкой минимума, а число – минимумом функции и обозначается y_min.

Точки максимумов и минимумов называются точками экстремумов функции, а числа y_max и y_min называются экстремумами функции.

Пример. Функция y = cos x имеет точки максимумов x = 2k, k = 0, 1, 2, …, , и точки минимумов x =  + 2k, k = 0, 1, 2, …, .