Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы 4

Задача 1. Найти производную :

а) ; б) ; в)

Задача 2. Дана функция и значение х₀ = 0. Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой х₀. Построить графики функции, касательной и нормали в окрестности точки (х₀, f (х₀)).

Задача 3. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

а) б)

Задача 4. Провести полное исследование функции и построить ее график:

а) б)

Решение задачи 1а

Функция у(х) задана в явном виде и является отношением двух функций: Будем искать ее производную по формуле (20):

Найдем производные ее числителя и знаменателя:

(здесь использованы формулы (18), (19), (21) и "правило цепочки");

(здесь использованы формулы (17), (18) и "правило цепочки").

Теперь получаем:

.

Преобразование результата не производим, поскольку оно не дает существенного упрощения выражения для .

Решение задачи 1б

Равенство есть уравнение вида , которое неявно задает функцию . Для нахождения продифференцируем обе части тождества по аргументу х и из полученного равенства найдем как решение линейного уравнения:

.

Производная неявно заданной функции зависит от аргумента х и функции у, поэтому в ответе нужно отразить их взаимосвязь:

, где .

Решение задачи 1в

Функция у(х) задана параметрически: Для нахож-дения используем формулу (22):

(при дифференцировании использованы формулы (17), (18) и "правило цепочки").

Производная параметрически заданной функции также является функцией, заданной параметрически, поэтому записываем результат в параметрической форме:

Ответы:

а) ;

б) , где ;

в) .

Решение задачи 2

Найдем ординату точки касания: .

Для вычисления угловых коэффициентов касательной и нормали найдем производную :

.

Вычислим угловой коэффициент касательной: Тогда угловой коэффициент нормали: .

Запишем уравнение касательной в точке М(0; 2) по формуле (23) и приведем его к виду общего уравнения прямой:

.

Запишем уравнение нормали по формуле (24) и аналогично упростим его:

Д ля построения графика функции в окрестности точки (х₀; у₀) вычислим значения функции в точках, близких к х₀ = 0:

,

.

На рис. 29 построены участок графика функции , касательная и нор-маль в окрестности точки М(0; 2).

Ответы: и . Графики на рис. 29.

Решение задачи 3а

В данном пределе функция при есть отношение двух бесконечно больших функций, т. е. при вычислении предела нужно устранить неопределенность вида . Используем правило Лопиталя (формула (25)):

Последний предел есть предел бесконечно большой функции, т. е.

Следовательно, исходный предел .

Решение задачи 3б

В данном пределе функция при есть отношение двух бесконечно малых функций, т. е. при вычислении предела нужно устранить неопределенность вида . Используем правило Лопиталя:

Последний предел при есть отношение двух бесконечно малых функций, т. е. нужно снова устранять неопределенность вида . Еще раз используем правило Лопиталя:

Следовательно, .

Ответы: а) ; б) .

Решение задачи 4а

Проведем полное исследование функции

1. ООФ: т. е.

2. Функция не может быть четной или нечетной, так как имеет несимметричную относительно начала координат ООФ. Следовательно, эта функция общего вида, симметрию графика предсказать нельзя. Функция непериодическая.

3. Функция непрерывна на всей ООФ, так как является элементарной функцией. Точка является точкой разрыва, так как функция не определена в этой точке, но определена в ее окрестности.

Для определения типа разрыва найдем односторонние пределы при

:

(здесь при числитель является ограниченной функцией, а знамена-тель – бесконечно малой). Следовательно, в точке функция терпит бесконечный разрыв и – уравнение вертикальной асимптоты.

4. Промежутки монотонности и экстремумы найдем при помощи 1-й производной:

.

Критические точки по 1-й производной: х = 0, х = 2; не существует .

Точка не является критической точкой, так как   ООФ. Следовательно, имеем две критические точки: х = 0 и х = 2.

Проверим выполнение достаточных условий монотонности и экстре-мума по знаку 1-й производной. На рис. 30 видно, что функция возрастает на интервалах и , убывает на интервалах и .

В точке х = 0 есть минимум функции, , в точке х = 2 есть максимум, .

5. Выпуклость, вогнутость графика и точки перегиба исследуем при помощи 2-й производной:

Критические точки по 2-й производной: х = 0, ; не существует  x = . Точка не является критической точкой, так как  ООФ. Следовательно, критическими точками по второй производной являются точки х = 0 и .

П роверим выполнение достаточных условий выпуклости, вогнутости графика функции по знаку 2-й производной. На рис. 31 видно, что график функции выпуклый на интервалах , и вогнутый на интервале . В точке с абсциссой имеется пере-гиб графика, .

6. Найдем наклонные асимптоты графика y = kx + b при по формулам (26), (27):

;

Следовательно, наклонная асимптота графика имеет уравнение .

7. Точка пересечения с осями координат – единственная: (0; 0), так как

.

8. П остроение графика начинаем с построения асимптот и , затем отмечаем точки графика, в которых функция имеет экстремумы: точку минимума (0; 0), точку максимума , и точку перегиба . После этого выполняем построение гра-фика функции сначала на промежутках и , затем на промежутке .

На графике (рис. 32) видны сближение кривой с асимптотами при уда-лении от начала координат и перегиб кривой.

Ответ: график на рис. 32.

Решение задачи 4б

Проведем полное исследование функции .

1. ООФ: , ОЗФ: , так как .

2. Функция не является четной или нечетной, так как . Следовательно, эта функция общего вида. Функция непериодическая.

3. Функция непрерывна на всей ООФ. Точек разрыва нет.

4. Промежутки монотонности и экстремумы найдем при помощи 1-й производной:

Критические точки по 1-й производной: не существует – таких точек нет.

П роверим выполнение достаточных условий монотонности и экстре-мума по знаку 1-й производной. На рис. 33 видно, что функция возрастает на интервале , убывает на интервалах и .

В

Рис. 33

точке х = 0 минимум функции, , в точке х = 2 максимум, .

5. Выпуклость, вогнутость графика и точки перегиба исследуем при помощи 2-й производной:

.

Критические точки по 2-й производной: , т. е. , .

Проверим выполнение достаточных условий выпуклости, вогнутости графика функции по знаку 2-й производной. На рис. 34 видно, что график функции выпуклый на интервале , и вогнутый на интервалах и .

В

Рис. 34

точках с абсциссами имеются перегибы графика; вычисляем ординаты точек перегиба: , .

6. Найдем наклонные асимптоты графика y = kx + b при и при (отдельно) по формулам (26), (27).

(здесь при обе функции под знаком предела являются бесконечно большими). Следовательно, при наклонных асимптот нет.

При получаем:

;

. Следовательно, при график имеет горизонтальную асимптоту, ее уравнение: у = 0.

7. Точка пересечения с осями координат – единственная: (0; 0), так как

.

8. П остроение графика начинаем с построения асимптоты у = 0 (она совпадает с осью абсцисс), затем отмечаем точки графика, в которых функция имеет экстремумы: точку минимума (0; 0), максимума , и точки перегиба (x₁; y₁) и (x₂; y₂), где , . После этого выполняем построение графика функции сначала на промежутках и , затем на промежутке .

На графике (рис. 35) видно сближение кривой с асимптотой у = 0 при и перегибы кривой.

Ответ: график на рис. 35.