12 Формула Герона
Теорема: Если а, b с — стороны треугольника, р — полупериметр, р=(a+b+c)/2, r — радиусвписанной окружности, S — площадь треугольника, то:
Доказательство.
Пусть а, b, с — длины сторон ВС, АС, АВ треугольника ABC (рисунок).
Проведем высоту CC1 и обозначим х длину отрезка АС1. Тогда ВС1=с-х. По теореме Пифагора получаем:
Решим это уравнение и найдем х:
Тогда:
Данная формула называется формулой Герона.
Герон Александрийский (I в.) — древнегреческий ученый, который работал в Александрии. Математические работы Герона являются энциклопедией античной практической математики.
Определение параллелограмма
Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны
2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны
3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов
4. Сумма всех углов равна 360°
5. Диагонали
параллелограмма пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам
6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма
7. Диагонали
параллелограмма
и стороны
связаны
следующим соотношением: 
8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник
Признаки параллелограмма
Четырехугольник 
является
параллелограммом, если выполняется
хотя бы одно из следующих условий:
1. Противоположные
стороны попарно равны: 
2. Противоположные
углы попарно равны: 
3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам
4. Противоположные
стороны равны и параллельны: 
5. 
14 Углы, связанные с окружностью
Теорема (угол между пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых ими дуг:
.
Теорема (угол между секущими). Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг:
.
Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания). Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой:
.
Теорема (угол между касательной и секущей). Угол между касательной и секущей равен полуразности высекаемых ими дуг: .
Теорема (угол между касательными). Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг: .
15-16
15Вписанные и 16описанные четырехугольники
Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.
Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписанав четырехугольник.
На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.
141
Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.
.
Два угла вписанного в окружность
четырехугольника равны 
и 
.
Найдите больший из оставшихся углов.
Ответ дайте в градусах.
Сумма
противоположных углов вписанного
четырехугольника равна 
.
Пусть угол 
равен
.
Тогда напротив него лежит угол
в 
градусов.
Если угол 
равен
,
то угол 
равен 
.
Ответ: 
.
.
Три стороны описанного около окружности
четырехугольника относятся
(в последовательном порядке) как 
.
Найдите большую сторону этого
четырехугольника, если известно, что
его периметр равен 
.
Пусть
сторона 
равна 
, 
равна 
,
а 
.
По свойству описанного четырехугольника,
суммы противоположных сторон равны,
и значит,
Получается,
что 
равна
.
Тогда периметр четырехугольника равен 
.
Мы получаем, что 
,
а большая сторона равна 
.
Ответ: .
.
Около окружности описана трапеция,
периметр которой равен 
.
Найдите ее среднюю линию.
Мы помним,
что средняя
линия трапеции равна полусумме оснований.
Пусть основания трапеции равны 
и 
,
а боковые стороны — 
и 
.
По свойству описанного четырехугольника,
,
и значит, периметр равен 
.
Получаем,
что 
,
а средняя линия равна 
.
Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .
Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто нацелен на решение части С.
17
Признаки параллельности прямой и плоскости:
1) Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
2) Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
Признаки параллельности плоскостей:
1) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости cоответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
2) Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
Признаки перпендикулярности прямой и плоскости:
1) Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
2) Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Наклонная к плоскости. Прямая, пересекающая плоскость и не перпендикулярная ей, называется наклонной к плоскости.
Теорема о трёх перпендикулярах. Прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и самой наклонной.
Признаки параллельности прямых в пространстве:
1) Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
2) Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей.
Признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр.
18