Контрольная работа 2 / 6-2_Высшая математика-2

Министерство образования и науки

Томский государственный университет систем управления и

Радиоэлектроники

Контрольная работа №2

По дисциплине "Матемaтика - 1.2"

учебное пособие Ельцов А.А. «Высшая математика 2. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения»

Вариант №2

Выполнил студент

гр. з-459-а

специальности 080700

Майнагашев Игорь Сергеевич

г. Абакан 2011

Задание 1.

Вычислить , если - внутренность треугольника с вершинами в точках .

Решение: A ( 0 ; 2) B ( 1; 0 ) C ( 2; 4 )

а) AB, , y – 2 = - 2x , y = 2 – 2x

б) AC, , y = x + 2

в) BC, , y – 4 = 4(x – 2) , y = 4x - 4

Задание 2.

Изменить порядок интегрирования

.

Решение:

=

Область D состоит из двух частей D₁ и D₂

1. D₁ ограничена y = 0, y = x ,

x = 0 , x = 1

б) D₂ ограничена y = 0, y = (x – 2)² ,

x = 1 , x = 2

=

Задание 3.

Вычислить площадь области, заданной неравенствами

перейдя предварительно к полярным координатам.

Решение:

(окружность с центром C( -r,0))

Примем С в качестве полюса полярной системы координат, а ось ОХ в качестве полярной оси

S = ===

Находим = 2

S =

Задание 4.

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

Решение:

x = 3 , z = 0 , y = 2x , z = y²

V = =======2*27=54

Задание 5.

. Вычислить интеграл (в цилиндрических или сферических координатах) , где - область, заданная неравенствами

Решение:

Переходим к сферической системе координат

==

=== = = =

= = = =

= =

Задание 6.

. Найти работу силы по перемещению точки вдоль участка кривой от точки до точки

Решение:

Проекции

Работа == =

= =

Задание 7.

. Проверить, что поле потенциально и восстановить потенциал.

Решение:

где

Проверим условия потенциальности поля

(верно) = =

восстановим потенциал по формуле

=

отсюда

интегрируем (1)

находим ==

Итак , где D – константа.

Задание 8.

Вычислить поток вектора через часть поверхности , лежащую в первом октанте.

Решение:

, ,

применим формулу

=

, где , ,

область D проекция на XOZ

= = = = = = = =

=

Задание 9 .

Вычислить поток вектора через замкнутую поверхность

Решение:

z = 0 , z = 1

поток равен

, где вектор , , ,

заметим, что дает при проекции dxdy=0. Поэтому

Приводим поверхностный интеграл к двойному по области D , являющейся проекцией на плоскость XOZ при

этом разбиваем на две части ,при и

= , где А = 1 , ,

для

= =

знак взяли потому, что нормаль образует острый угол с осью OX

заметим, что поток для второй части рассчитывается аналогично, однако

, ,

= = = находим сумму потоков

При решении задач использовалась дополнительная литература:

Л.И.Магазинников “Высшая математика-2” Методическое пособие.

.