Контрольная работа 2 / 5-2_Высшая математика-2

Министерство образования и науки

Томский государственный университет систем управления и

Радиоэлектроники

Контрольная работа №1

По дисциплине "Матемaтика - 1.2"

учебное пособие Ельцов А.А. «Высшая математика 2. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения»

Вариант №2

Выполнил студент

гр. з-459-а

специальности 080700

Майнагашев Игорь Сергеевич

г. Абакан 2011

Найти неопределённые интегралы

1) ;

решение: Применим метод подведения множителя под знак дифференциала. Подводим множитель под

знак дифференциала, т.е. применяем формулу

Исправляем переменную интегрирования, добавляем константу под знаком дифференциала

Проверка. Достаточно убедиться в истинности равенства

2) ;

решение: Подводим под знак дифференциала:

Исправляем переменную интегрирования

Проверка. Находим производную

Получилась подынтегральная функция.

3) ;

решение: Подводим множитель под знак дифференциала, согласно равенству

Проверка. Находим производную

Получилась подынтегральная функция.

4) ;

решение: Подводим множитель под знак дифференциала, согласно равенству , а затем исправляем переменную под знаком дифференциала

5) ;

решение: Интегрируем по частям. Принимаем и . Отсюда

Отсюда==

6) ;

решение: Применяем метод подведения множителя под знак дифференциала. Подводим множитель под знак дифференциала, т.е. применяем формулу

Исправляем переменную интегрирования, добавляем константу под знаком дифференциала

=

9) .

решение: Выделять целую часть не нужно, так как у неправильной рациональной дроби, степень чилителя не меньше степени знаменателя.

Разложим правильную дробь в сумму простейших дробей.

Приводим к общему знаменателю, а затем уравниваем числители дробей

Подставим в это равенство значения

1

2

3

4

Решаем систему и находим

Подставим найденное разложение в интеграл

=

=

Вычислить определённые интегралы

10) ;

решение: Интегрируем по частям. Принимаем Находим

, Получаем

11)

решение: Воспользуемся формулой , при

(sin(5+1)x+sin(5-1)x)dx= =

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость

12) ;

решение: Интеграл имеет одну особую точку , функция непрерывна внутри любого промежутка [2;c).

Проинтегрируем

Подводим множитель под знак дифференциала сомножитель, т.е. заменяем под знаком интеграла согласно равенству

=

13) .

решение: Интеграл имеет одну особую точку , так как подынтегральная функция непрерывна внутри любого промежутка (1;2] кроме этой точки

Проинтегрируем

Выяснить сходимость несобственных интегралов

14) ;

решение: Применим теорему сравнения, используя неравенства . Получим оценку сверху

Так как эталонный интеграл сходится при то оцениваемый интеграл также сходится по теореме сравнения. Справедлива оценка

15) .

решение: Особая точка , в которой подынтегральная функция имеет разрыв

Преобразуем.

Сделаем замену

Величина эквивалентна при z→0 т.е. ее предел

Подынтегральная функция при Сравним исходный интеграл с эталонным интегралом при который как известно сходится, так как <1. Поэтому исходный интеграл сходится по второй теореме сравнения

Найти площадь области, ограниченной кривыми

16)

решение: Построим эти параболы. Парабола ограничивает фигуру сверху, а парабола -снизу.

Фигура равна разности криволинейных трапеций. Координаты точек А, В, находим как пересечение двух линий, решая систему уравнений:

Фигура симметрична, ее площадь находим как удвоенную площадь половины фигуры

Площадь находим с помощью геометрического смысла определенного интеграла:

Найти длину дуги кривой

17)

решение: Графиком функции является полукубическая парабола, симметричная относительно оси абсцисс. Кривая составляет ее одну ветвь.

Формула длинны дуги ,где пределы изменения аргумента а = 0

b = 4 Получаем дифференциал длинны дуги равен

длина дуги равна

=

Здравствуйте.

Я, Майнагашев Игорь Сергеевич, г. Абакан, спец. 080700. Высылаю отчет по контрольной работе №1 по дисциплине "Матемaтика - 1.2"

учебное пособие Ельцов А.А. «Высшая математика 2. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения»

Файл "к.р. 5-2.7z"

При решении задач использовалась литература:

Л.И.Магазинников “Высшая математика-2” Методическое пособие.