Раздел 14. Элементы теории разностных уравнений
Исследуются разностные уравнения
Рассматриваются разностные уравнения первого, второго и высших порядков, вопросы устойчивости
Разностные уравнения первого порядка
Для
функции
,
определённой при
используем обозначение
Пусть функция
определена для
и всех
Будем далее рассматривать разностные
уравнения первого порядка,
имеющие вид
.
(1)
Это
уравнение позволяет последовательно
находить значения
при заданном значении
.
Однако в ряде случаев удаётся получить
формулу, дающую явное значение
. Рассмотрим, например, уравнение
(2)
из
которого, при заданном значении
,
находим
и далее,
,
. (3)
(Проверьте,
что равенство (3) справедливо при всех
методом
математической индукции, используя
(2)). В частном случае, когда
формула (3) при
даёт
,
. (4)
Если
же
,
то формула (3) принимает вид
.
Например,
уравнение
согласно формуле (4) имеет решение
,
а уравнение
имеет решение
Следующий
пример – модель роста экономики. Пусть
национальный
доход,
инвестиции,
сбережения,
и пусть
,
.
Тогда
.
Задачи. Решить следующие разностные уравнения с начальным условием:
Положения равновесия и устойчивость
Из
формулы (4) следует, что если
, то для всех
выполняется равенство
.
(5)
Более
того, из уравнения (2) следует, что если
(5) выполняется при некотором значении
, то оно выполняется и для остальных
значений. Будем говорить, что
представляет собой положение
равновесия
для уравнения
.
Пусть
в этом уравнении
Тогда
из (4) следует, что
При
этом рассматриваемое уравнение называется
глобально
асимптотически устойчивым.
Отметим, что если
,
то стремление
монотонное,
а в случае
имеют
место затухающие
колебания.
Если
же в уравнении
…,
,
то
Рассмотрим
так называемую паутинообразную
модель,
в которой
и каждому из
участников требуется максимизировать
.
Для
этого должно выполняться условие
,
откуда, при
.
Это даёт величину
.
Величины
изменяются при
в соответствии с законом
откуда
.
(6)
Положение равновесия описывается равенством
.
Решение уравнения (6), по формуле (4), имеет вид
.
Уравнение
(6) устойчиво, если
.
Если же
то в некоторый момент
перестанет выполняться неравенство
, что будет означать выход участников
из процесса. Если же, наконец,
,
то пара
,
в зависимости от чётности
,
принимает два значения
,
ТЕКУЩИЕ ДИСКОНТИРОВАННЫЕ СТОИМОСТИ
Пусть
обозначает стоимость активов в конце
периода
.
Если процентная ставка за период времени
постоянна и равна
,
обозначает изъятые средства, а
вложенные средства, то
и согласно формуле (32) имеем
,
.
или
,
.
В нулевой момент времени левая часть этой формулы называется текущей дисконтированной стоимостью.
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Будем далее рассматривать разностные уравнения второго порядка, имеющие вид
.
(7)
Это
уравнение позволяет последовательно
находить значения
при заданных значениях
.
Однако в ряде случаев удаётся получить
формулу, дающую явное значение
. Рассмотрим, например, уравнение
(8)
и соответствующее ему однородное уравнение
.
(9)
Теория разностных уравнений вполне похожа на теорию дифференциальных уравнений. Например, имеют место следующие теоремы.
Теорема. Общее решение уравнения (9) имеет вид
+
где
-
любые два линейно независимые решения
(9), а
произвольные постоянные.
Теорема. Общее решение уравнения (8) имеет вид
+
где
-
любые два линейно независимые решения
(9),
произвольные постоянные, а
любое
частное решение уравнения (8).
Примечание. Для проверки линейной независимости решений можно использовать следующий простой критерий. Эти решения являются линейно независимыми тогда и только тогда, когда
.
В использованных обозначениях положим
Предполагая,
что
,
получаем общее решение (8) в виде
+
.
(10)