Матрица якоби и ее свойства

Пусть - функции, задающие некоторое отображение из в . Предположим, что эти функции имеют частные производные по всем переменным в некоторой точке . Тогда матрица

называется матрицей Якоби. В случае , т. е., когда рассматривается функция , то матрица Якоби состоит из одного элемента . Поэтому эту матрицу можно считать обобщением понятия производной. Как уже отмечалось, для дифференциала отображения, соответствующего приращению , имеем

.

Предположим, что и что, в свою очередь, Это приводит к сложному отображению (или композиции отображений) , где использованы краткие записи , , , , .

Для этого отображения, по теореме о производной сложной функции, , поэтому имеет место равенство: .

В случае, когда , определитель матрицы Якоби

называется якобианом отображения.

По доказанному, в случае композиции отображений , , выполняется равенство

,

Если отображение имеет обратное отображение, т.е. , то , т.е. , если . Эта формула обобщает правило для производной обратной функции , если .

Производные высших порядков

Если функция обладает в некоторой окрестности точки частной производной , а эта производная обозначается . Далее индуктивным образом можно определить производные более высокого порядка. Возникает вопрос: всегда ли ?

Ответ на него такой: нет, не всегда! Можно показать, что функция имеет неравные производные и . Однако имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть определена в открытой области и пусть в этой области существуют . Пусть и непрерывны в точке . Тогда в этой точке

Теорема. Пусть определена в открытой области и имеет в этой области всевозможные частные производные до -го порядка включительно и смешанные производные -го порядка, причем все эти производные непрерывны в . При этих условиях значение любой -ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производится последовательное дифференцирование.

Например, и т.п.

Дифференциалы высших порядков

Пусть - имеет непрерывные производные в области . Тогда .

При этом, если - независимые переменные, то можно считать постоянными величинами, не зависящими от . Поэтому , .

Пусть имеет непрерывные частные производные 2-го порядка. Положим по определению

Здесь мы воспользовались тем, что .Например, при

, при n=3 .

Вообще, легко заметить, что, используя формальную операторную запись,

Аналогично, полагая , находим:

В предположении, что для существуют частные производные до k - го порядка включительно.

Отметим, что если (т.е. переменные не независимые, а представляют собой функции от других переменных), то , вообще говоря, они не равны 0 и, хотя ввиду инвариантности 1-го дифференциала, формула для него сохраняется, в формулы для дифференциалов более высоких порядков следует внести изменения.

Именно, в этом случае верна формула

Однако, если , то и . Поэтому в случае линейной замены переменных фопмулы для дифференциалов более высокого порядка сохраняются.