Производная обратной функции

Прежде чем заняться вычислением производных от обратных тригонометрических функций, докажем следующую общую теорему.

Теорема. Пусть 1) функция возрастает(или убывает) и непрерывна на некотором промежутке 2) в точке этого промежутка имеет конечную и отличную от нуля производную . Тогда для обратной функции в соответствующей точке также существует производная, равная .

Итак, имеем простую формулу:

.

Л егко выяснить её геометрический смысл. Мы знаем, что производная есть тангенс угла , образованный касательной к графику функции с осью . Но обратная функция имеет, лишь независимая переменная для неё откладывается по оси . Поэтому производная равна тангенсу угла β, составленного той же касательной с осью (см. рис.) Таким образом, выведенная формула сводится к известному соотношению

,

связывающему тангенсы двух углов α и β, сумма которых равна .

Положим для примера . Обратной для неё функцией будет . Так как , то по нашей формуле,

,

в согласии с 3.

Переходя теперь к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, мы для удобства обменяем ролями переменные x и y, переписав доказанную формулу в виде

.

5.Обратные тригонометрические функции. Рассмотрим функцию ( ), причем . Она является обратной для функции , имеющей для указанных значений положительную производную . В таком случае существует также производная и равна, по нашей формуле,

;

корень мы берем со знаком плюс, так как .

Мы исключили значения , ибо для соответствующих значений производная .

Функция ( ) служит обратной для функций . По нашей формуле

.

Аналогично можно получить:

для ( )

для ( ).

Производная сложной функции

Теорема.(Теорема о производной сложной функции). Пусть функция определена в окрестности точки и имеет в этой точке производную . Пусть функция определена в окрестности и имеет в точке производную

Тогда сложная функция имеет производную, равную

.

Производная функции, заданной параметрически

Рассмотрим уравнение

где , − дифференцируемые функции на некотором промежутке ; пусть, кроме того, функция строго возрастает (или убывает) на и ни в одной точке этого промежутка не равна 0.

Символ использован здесь для обозначения производной функции по переменной . Тогда существует обратная функция , причем ее производная равна

Но тогда уравнения задают , и производная этой функции , по теореме о производной сложной функции. Окончательно получаем:

Часто вместо этого равенства записывают равносильное ему равенство

Бывает также, что производные по параметру обозначают так: , . Тогда формула принимает вид: .

ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Понятие дифференциала числовой функции

Определение. Если числовая функция дифференцируема в точке , то ее

дифференциалом в этой точке называют однородную линейную функцию

(новой) независимой переменной .

Таким образом,

=

Положив в формуле , получим

так что дифференциал функции в каждой точке есть

тождественная функция. Получаем

=

равенство двух линейных функций и . Из него следует, что часто используемое обозначение производной можно рассматривать, как отношение дифференциалов

и .

Функция определена для всех действительных значений .

Однако по традиции часто рассматривают лишь на множестве тех ,

для которых принадлежит области определения функции; т.е.,

лишь на множестве приращений аргумента функции .

Это объясняется тем, что дифференциал тесно связан с приращением функции.

Так как, по предположению, дифференцируема в точке x, то

,

где при и первое слагаемое в правой части дифференциал,

но рассматриваемый только для . Если , то

,поэтому говорят, что «дифференциал есть главная

линейная часть приращения функции».

Геометрический и механический смысл дифференциала.

Пусть числовая функция дифференцируема в точке . Как известно, ее график

имеет в точке касательную с угловым коэффициентом .

Теорема Значение = дифференциала равно приращению ординаты этой

касательной при переходе от к .