Принцип максимума
Мы рассматривали метод динамического программирования. Другой метод основан на принципе максимума. Этот метод удобен, когда есть ограничения на разовую пере6менную.
Рассмотрим задачу найти
,
,
t=0,…,T-1
(1)
– задано, 
– свободно
Пусть U представляет собой интервал
Определим функцию Понтрягина (Hamiltonian)
(2)
– сопряжения
(присоединения) функции
Теорема (принцип максимума необходимое условие).
- пара оптимальных последовательностей
уравнения (1) и H
определено в (2)
Тогда
существуют 
,
с условием 
такие,
что для всех t=0,…,T-1:
(3)
Если - внутри U, тогда:
Кроме того, удовлетворяет разностному уравнению:
,
t=0,…,T (4)
Теорема (достаточное условие).
Если
выполнены условия Теоремы 1 и H(t,x,u,p)
выпукла
вверх по x,uдля
любого t
, тогда тройка 
-
оптимальна.
Пример
При t <3 функция Понтрягина равна:
При t =3 функция Понтрягина:
Функция
Понтрягина выпукла вверх по (x;
u).
Область управления U
открытая => (3) =>
=>
Разностное уравнение (4) для pt имеет вид:
и,
следовательно,
так
как x3
свободен,
таким образом,
Поэтому оптимальное управление:
