7. Элементы теории корреляции

Определение 1. Зависимость двух случайных величин называют корреляционной, если изменение одной случайной величины приводит к

изменению среднего значения другой случайной величины.

Основные задачи теории корреляции:

1. определить есть ли связь между случайными величинами, если есть, то найти уравнение зависимости (уравнение регрессии);

2. определить силу (тесноту) связи между случайными величинами.

Для определения самого факта связи между случайными величинами и тесноты связи служит коэффициент корреляции. Уравнение регрессии позволяет предсказать, какие изменения в среднем будет претерпевать признак при изменении другого признака.

Если уравнения регрессии являются линейными, то есть графиками будут прямые линии, то корреляционная зависимость называется линейной.

Пусть извлечена выборка объема и исследуются два количественных признака и . Результаты измерений занесены в таблицу.

Значения			…
Значения			…

Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле:

.

Свойства выборочного коэффициента корреляции:

1. Значения коэффициента корреляции изменяются на отрезке [–1;1]:

.

2. Чем модуль больше и ближе к 1, тем теснее связь между изучаемыми признаками.

3. Если , то между признаками функциональная связь.

4. Если , то между изучаемыми признаками нет линейной корреляционной зависимости.

5. Если , то между признаками прямая (положительная) связь и если , то между признаками обратная (отрицательная) связь.

Выборочное уравнение прямой регрессии на имеет вид:

,

где , – выборочные средние. За приближенные значения и принимают соответственно и :

, .

Выборочное уравнение прямой регрессии на имеет вид:

.

Пример. Психологи провели тестирование среди пациентов психоневрологического диспансера. Возраст пациентов колебался от 14 до 34 лет. Затем была проведена случайная выборка объёмом n=10. Была поставлена задача: определить есть ли зависимость возраста испытуемого от значения показателя развития заболевания . Результаты этого измерения представлены в таблице 6:

Таблица 6.

	25	35	45	55	65	75	85	95	105	115
	14	18	19	20	23	23	24	26	29	34

Требуется вычислить выборочный коэффициент корреляции и найти выборочное уравнение прямой регрессии на .

Решение. Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле:

.

Для вычисления величин, входящих в формулу, составим вспомогательную таблицу 7, в которой результаты измерений записаны столбцами. Внизу каждого из столбцов вычислены суммы для нахождения средних и . Далее расположены столбцы, в которых вычисляются разности и , их квадраты и произведения. Значения этих столбцов суммируются (последняя строка), чтобы получились величины, необходимые для подстановки в формулу. Отметим, что суммы в столбцах, в которых вычислены разности и будут всегда равны нулю.

Таблица 7.

25 35 45 55 65 75 85 95 105 115	14 18 19 20 23 23 24 26 29 34	– 45 – 35 – 25 – 15 – 5 5 15 25 35 45	2025 1225 625 225 25 25 225 625 1225 2025	– 9 – 5 – 4 – 3 0 0 1 3 6 11	81 25 16 9 0 0 1 9 36 121	405 175 100 45 0 0 15 75 210 495
700	230	0	8250	0	298	1520

Находим выборочные средние и (смотри данные в таблице, 1–2 столбцы):

= 700/10 = 70, = 230/10 = 23.

Выполнив все вычисления в таблице (3 – 7 столбцы), получаем:

,

,

.

Подставляя эти значения в соответствующую формулу, вычислим коэффициент корреляции:

Таким образом, выбранных пациентов имеет место очень сильная (т.к. значение близко к 1) и положительная (т.к. ) корреляция между возрастом испытуемого и значением показателя развития заболевания .

Найдем теперь выборочное уравнение прямой регрессии на .

,

где ,

.

Тогда

Подставляя в выборочное уравнение прямой регрессии на : , , , , получим или .

Окончательно,

–

искомое уравнение прямой регрессии на .