Программа курса « математическая статистика»

1. Статистическое распределение выборки.

2. Эмпирическая функция распределения.

3. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.

4. Выборочные средняя и дисперсия.

5. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал.

6. Элементы теории корреляции.

1. СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРКИ

Определение 1. Генеральной совокупностью называется множество единиц, из которых производится отбор.

Определение 2. Выборкой (выборочной совокупностью) называется множество отобранных для обследования единиц.

На практике наибольшее значение получили следующие виды: случайная, механическая, типическая, серийная, комбинированная выборки.

Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение наблюдалось раз, значение наблюдалось раз, …, значение наблюдалось раз.

Наблюдаемые значения признака называют вариантами, а последовательность всех вариант, записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, их сумма ─ объем выборки. Отношения частот к объему выборки есть относительные частоты (сумма всех относительных частот равна 1).

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант вариационного ряда и соответствующих им частот или относительных частот . Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами (или относительными частотами).

Пример. Задано распределение частот выборки:

	2	6	12
	3	10	7

В данной выборке получены следующие варианты: ; ; , соответствующие им частоты . Требуется написать распределение относительных частот.

Решение. Определим относительные частоты, для чего найдем объем выборки

.

относительные частоты находятся по формуле:

,

Напишем распределение относительных частот:

	2	6	12
	0,15	0,50	0,35

Контроль: сумма всех относительных частот равна единице:

.

2. Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака . Введем обозначения: ─ число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньше – общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события равна . Если изменяется, то, вообще говоря, изменится и относительная частота, то есть относительная частота есть функция от . Так как статистическое распределение выборки находится эмпирическим (опытным) путем, то эту функцию называют эмпирической.

Определение 1. Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называется функция , определяющая для каждого значения относительную частоту события .

,

где ─ число вариант, меньших – объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события , а эмпирическая функция определяет относительную частоту этого же события.

Доказано, что относительная частота события стремится по вероятности к вероятности этого события. Другими словами, при больших значениях числа и мало отличаются одно от другого в том смысле, что

.

Отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности. Такое заключение подтверждается и тем, что обладает всеми свойствами .

Из определения функции вытекают следующие ее свойства:

1. значения эмпирической функции принадлежит отрезку ;

2. – неубывающая функция;

3. если ─ наименьшая варианта, то при ;

4) если ─ наибольшая варианта, то при .

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Варианты	2	6	10
Частоты	12	18	30

Решение. Найдем объем выборки (сумма всех частот ):

.

1. Наименьшая варианта равна 2 , следовательно, при (по свойству 3 функции ).

2. Значения, меньшие 6 , а именно , наблюдались раз, следовательно, при .

3.Значения , а именно наблюдались раз, следовательно, при .

4. Так как – наибольшая варианта, то при (по свойству 4 функции ).

Искомая эмпирическая функция имеет вид:

Ниже (рис. 1) приведен график полученной эмпирической функции.

На графике на соответствующих осях отложены значения функции

и значения вариант

Рис. 1. График эмпирической функции.