Тема 8. Стійкість стиснутих стрижнів

Нехай тонкий довгий пружний стрижень одним кінцем прикріплений до нерухомої опори, а іншим – до рухомої опори. Стрижень стискується силою , прикладеної до рухомої опори (див. рис.). Поки сила невелика деформований стрижень залишається прямолінійним. При спробі зігнути його невеликою короткочасно діючої поперечною силою він прагне повернутися до первісного стану. Поступово збільшуючи стискаючу силу , можна буде досягти такого її значення, що після короткочасної дії на стрижень невеликої поперечної сили він не випрямиться й залишиться в скривленому стані. Це значення стискаючої сили називають критичним і позначають символом . При значенні , крім прямолінійної форми рівноваги деформованого стрижня, існують ще нескінченно багато скривлених форм рівноваги. При значенні форма рівноваги стислого прямолінійного пружного стрижня тільки прямолінійна.

Для визначення критичного значення сили , що стискає тонкий однорідний стрижень, кінці якого шарнірно закріплені, Ейлером було встановлено диференціальне рівняння для визначення вигнутої осі стрижня , на який діє сила

,

де

.

Тут Е – модуль Юнга матеріалу стрижня, J – мінімальний момент інерції поперечного перерізу стрижня відносно осі, яка проходить в площині цього перерізу через центр тяжіння перерізу.

Характеристичне рівняння наведеного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд

Отже загальний розв’язок диференціального рівняння такий

.

Шукана функція , як видно з рисунку деформованого стрижня, повинна задовольняти умовам (граничним умовам)

, .

З цих умов випливає, що . Тобто

.

Оскільки , то . Але за фізичним змістом задачі , а тому . Звідки випливає, що . Отже

, а ,

Найменше значення стискаючої сили Р, при якій стрижень крім прямолінійної форми рівноваги, може мати і скривлену форму рівноваги, називають критичним значенням стискаючої сили

.

У цій формулі ( формулі Ейлера) – модуль Юнга матеріалу стрижня, – довжина стрижня, – мінімальне значення моменту інерції поперечного перерізу стрижня відносно осі, що проведена в площині перерізу через центр тяжіння поперечного перерізу (на практиці величина визначається з таблиць для стандартних профілів металопрокату [7] (див. також додаток В).

Якщо сила, що стискає стрижень ферми, виявиться більшою за критичну силу Ейлера для цього стрижня, то фермі загрожує катастрофа в першу мить експлуатації. Тому параметри стислих стрижнів ферми потрібно вибирати так, щоб значення стискаючих їх сил не перевищували критичних значень.

Рекомендована література Основна:

1. Сало В.А. Теоретична механіка: Навч. посіб. Ч.1. Статика /В.А.Сало – Харків: Акад. ВВ МВС України, 2006. – 193 с.

2. Павловський М.А. Теоретична механіка /М.А.Павловський – К.: Техніка, 2002. – 512 с.

3. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике/ И.В.Мещерский – М: Наука, 1981. – 480 с.

4. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике / А.А.Яблонский– М: Высшая школа, 1978. – 388 с.