Тема 6. Закон Гука для пружних стрижнів

Абсолютно твердих тіл у природі не існує: під дією зовнішніх сил реальні тіла деформуються. Деформація тіла називається пружною, якщо після зняття всіх прикладених до нього навантажень тіло відновлює свою первісну форму. Досвід показує, що пружна деформація тіла має місце, доки величини діючих на нього навантажень не перевершують певних меж. А якщо перевершили, то після зняття навантажень, тобто після розвантаження, тіло не відновлює свою первісну форму.

Якщо пружний прямолінійний стрижень розтягується двома протилежно спрямованими силами (рівними за величиною!), то його пружне видовження визначається за відомою зі шкільного курсу фізики формулою закона Гука

, (6.1)

де – величина сили, прикладеної до одного з кінців стрижня, – довжина стрижня до деформації, – площа поперечного перерізу стрижня, – значення модуля пружності матеріалу стрижня.

Приведемо значення модулів пружності (модулів Юнга) деяких відомих матеріалів:

• для сталі ,

• для міді ,

• для алюмінію .

Відношення називають значенням напруження в поперечному перерізі стрижня, а відношення – відносним подовженням стрижня. У термінах закон Гука для прямолінійних пружних стрижнів має просту форму .

Щоб забезпечити міцність ферми напруження, що виникають у її стрижнях не повинні перевищувати межі міцності матеріалу цих стрижнів.

Отже, ферму можна навантажувати такими за величиною навантаженнями, щоб виникаючі в її стрижнях напруження не перевищували деякої частини , тобто величини

[ ] =

У цій формулі величину [ ] називають допустимим напруженням, а число – коефіцієнтом запасу міцності. Помітимо, що для незагартованої сталі . Для спеціальних видів сталі межа міцності може досягати значень (струни рояля).

Величина коефіцієнта запасу міцності визначається для різних конструкцій експериментально і коливається в межах від 2 до 10. Наприклад, коефіцієнт запасу міцності для мостів береться близьким до 10, а для машинобудівних конструкцій беруть .

Зі сказаного випливає, що міцність ферми буде забезпечена, якщо напруження в усіх її стрижнях будуть задовольняти умові

.

Останню нерівність називають умовою міцності ферми. Умова міцності використовується для визначення розмірів поперечних перерізів розтягнутих стрижнів ферми, що забезпечують її надійну експлуатацію. Розміри поперечних перерізів стиснутих стрижнів визначаються з умови стійкості їх деформування (тема 8).

Тема 7. Статично невизначені стрижневі конструкції

Існує багато стрижневих конструкцій, в яких стрижні шарнірно з'єднані один з одним, однак зусилля в стрижнях не можна однозначно визначити з рівнянь рівноваги її вузлів, тому що число невідомих зусиль виявляється більше числа рівнянь рівноваги вузлів конструкції. Подібні конструкції називають статично невизначеними. Різниця між числом шуканих зусиль і числом незалежних рівнянь статики для їхнього визначення називають степенем статичної невизначеності конструкції. Наприклад, плоска конструкція із трьох невагомих стрижнів, шарнірно прикріплених верхніми кінцями до стелі й шарнірно з'єднаних між собою нижніми кінцями, є один раз статично невизначеною конструкцією.

Для визначення трьох зусиль у стрижнях можна скласти для їхнього визначення лише два незалежні рівняння рівноваги нижнього вузла: .

Для однозначного визначення невідомих зусиль у стрижнях статично невизначеної конструкції потрібно доповнити рівняння статики іншими рівняннями, які найбільше часто виводять із припущення про пружну деформацію стрижнів. Очевидно, після пружної деформації стрижнів конструкції (якщо її розібрати) деформовані стрижні можна знову з'єднати колишніми шарнірними в'язями. На цій підставі додаткові рівняння для визначення зусиль стрижнях називають рівняннями сумісності деформацій. Покажемо на прикладі, як встановити рівняння сумісності деформацій.

Приклад 1. Крайні стрижні конструкції, зображеної на рисунку, однакові і є сталевими, середній стрижень – мідний, довжина крайніх стрижнів , а середнього – . Допустиме напруження для сталі , а для міді . Потрібно встановити міцні розміри поперечних перерізів цих стрижнів, якщо на конструкцію діє сила Q.

Розв'язання. Складемо рівняння рівноваги осі шарніра А. На вузол А діють сили , , з боку стрижнів і зовнішня сила Q. Ця система сил збіжна, тому рівняння рівноваги вузла мають вигляд:

, (7.1)

Розглядувана конструкція один раз статично невизначена, оскільки число невідомих зусиль дорівнює трьом, а рівнянь рівноваги – два. Складемо додаткове рівняння (рівняння сумісності деформацій). Під дією сили Q усі стрижні конструкції отримають пружні подовження. Оскільки стрижні 1 і 2 однакові і , що випливає з першого рівняння рівноваги, то зрозуміло, що подовження і цих стрижнів однакові: = . Подовження стрижня 3 позначимо через . За законом Гука

, ,

де – модуль Юнга сталевого стрижня, – модуль Юнга мідного стрижня, і – площі поперечного перерізу першого і третього стрижнів.

Мислено розберемо конструкцію і надамо стрижням зазначені подовження, тоді, обертаючи стрижні 1 і 2 навколо точок B і D, зможемо поєднати кінці всіх стрижнів конструкції в новій точці A₃. Дуги A₁A₃ і A₂A₃, які описують кінці подовжених стрижнів 1 і 2, замінюємо через їхню малість прямолінійними відрізками A₁A₃ і A₂A₃, перпендикулярними відповідно стрижням AB і AD.

У прямокутному трикутнику AA₁A₃, , , , тому

.

Це і є рівняння сумісності деформацій стрижнів даної конструкції.

Замінимо в рівнянні сумісності деформацій і згідно з законом Гука (6.1). Отримаємо додаткове рівняння відносно невідомих зусиль , , в стрижнях конструкції

. (7.2)

Розв'яжемо систему трьох рівнянь (7.1), (7.2). Маємо , тому, виходячи з (7.2),

(7.3)

Підставимо отримані вирази для і в друге рівняння системи (7.1), отримаємо рівняння для визначення

.

З цього рівняння знаходимо

.

За відомим зусиллям знайдемо зусилля і , керуючись формулою (7.3):

.

Для визначення шуканих площ і поперечних перерізів стрижнів скористаємося умовами міцності конструкції

, .

З цих нерівностей визначимо найменші значення площ , , , при яких конструкція буде міцною.

, .

Приклад 2. Три стрижні кронштейна виконані з одного матеріалу. Площа поперечного перерізу першого стрижня , другого – , третього – . Вага вантажу Р=5000 кГ. Визначити напруження в поперечних перерізах стрижнів.

Розв'язання. Складемо рівняння рівноваги вузла . Для цього зобразимо сили, що діють на вузол зі сторони стрижнів та силу Р:

Ця система сил є плоскою, тому рівняння рівноваги системи сил такі:

Як бачимо, розглядувана стрижнева конструкція один раз статично невизначена. Доповнимо рівняння рівноваги вузла рівнянням сумісності деформацій стрижнів. Щоб скласти це рівняння, припустимо, що шарнір внаслідок деформації конструкції зайняв нове положення на площині осей xy і що стрижні 1, 2, 3 одержали при цьому подовження Нехай – одиничні вектори на стрижнях 1, 2, 3 (див. наведений нижче рисунок). Як видно з рисунка, ці вектори характеризуються координатами:

, , .

Мислено розберемо вузол і надамо стрижням подовження Ясно, що кінці вірно подовжених стрижнів можна знову звести в точку , обертаючи їх навколо шарнірних з'єднань зі стіною. Розглянемо вектор . Очевидно,

, ,

.

Виключивши з отриманих виразів для величини та , прийдемо до шуканого рівняння сумісності деформацій стрижнів кронштейна

.

Замінимо в цьому рівнянні подовження їх виразами через зусилля згідно із законом Гука

,

одержимо рівняння

,

що доповнює рівняння статики до визначеної системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно шуканих зусиль .

Спростимо одержане рівняння, прийнявши до уваги, що за умовою задачі , , і що , а . Будемо мати

.

Таким чином, система рівнянь для визначення зусиль у стрижнях кронштейна виявляється такою

,

.

Розв'язавши систему, одержимо

Від'ємний знак значень модулів сил, що деформують другий і третій стрижні кронштейна, означає, що їх напрям протилежний прийнятому визначально напряму, тобто сили й не розтягують, а стискають стрижні 2 та 3 кронштейна.

Визначимо відповідні знайденим зусиллям напруження в стрижнях:

Знак мінус у значеннях напружень і вказує на те, що ці напруження є стискаючими.