ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

А.К. Приварников, І.О. Александров

ДОДАТКОВІ РОЗДІЛИ ПРИРОДНИЧИХ НАУК

Навчальний посібник

для здобувачів ступеня вищої освіти магістра

спеціальності «Математика»

Затверджено

вченою радою ЗНУ

Протокол №__ від _______ 2016 р.

Запоріжжя

2016

УДК: 502 (075.8)

ББК Б я 73

П 752

Приварников А.К. Додаткові розділи природничих наук: навчальний посібник для здобувачів ступеня вищої освіти магістра спеціальності «Математика»/ А.К. Приварников, І.О Александров.– Запоріжжя: ЗНУ, 2016. – 68 с.

Зміст посібника відповідає навчальній та робочій програмам дисципліни «Додаткові розділи природничих наук». У ньому наводиться достатня кількість прикладів і задач, які дозволяють студентам засвоїти сутність та галузі застосування дисципліни, що вивчається. Видання призначене для студентів напряму підготовки «Математика». Однак його можуть використовувати студенти інших спеціальностей математичного факультету.

Рецензент Н.М. Д’яченко, кандидат фіз.-мат. наук, доцент.

Відповідальний за випуск А.К. Приварников, завідувач кафедри алгебри та геометрії, доктор фіз.-мат. наук, професор.

ЗМІСТ

ПЕРЕДМОВА ……..…………………………………………………………	4
ТЕМА 1. Аксіоми статики твердого тіла ……..………………………..…..	5
ТЕМА 2. Спрощення збіжної системи сил ……………………...…………	9
ТЕМА 3. Спрощення системи паралельних сил ………………………..…	15
ТЕМА 4. Спрощення довільної системи сил ………………………………	29
ТЕМА 5. Статично визначені стрижневі конструкції ………………..……	35
ТЕМА 6. Закон Гука для пружних стрижнів ………………………………	43
ТЕМА 7. Статично невизначені стрижневі конструкції ………………….	45
ТЕМА 8. Стійкість стиснутих стрижнів ……………………………………	52
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА………………………………………	54
ДОДАТОК А. Питання та завдання для самоконтролю………………….	55
ДОДАТОК Б. Індивідуальні завдання ……………………………………	58
ДОДАТОК В. Сортамент металопрокату рівнополичних кутників………	65

Передмова

Автори ставили собі за мету викласти матеріал курсу так, щоб його з найменшим напруженням й на достатньому рівні для подальшого успішного навчання міг би засвоїти будь-який працьовитий студент математичного факультету. Означення, теореми та інші твердження для їх розуміння пояснюються прикладами. Нетривіальні правила для знаходження шуканих величин формулюються у вигляді алгоритмів, тобто у вигляді послідовностей дій для успішного розвязання типових завдань, і ілюструються спеціально підібраними прикладами. Це, на думку авторів, дає змогу студентам «відчути» об’єкти, що вивчаються. Матеріал посібника структуровано таким чином, щоб надати студентам можливість простежити логіку розвитку та взаємозв’язок понять, тверджень та теорем, а також пояснити, як теоретичні конструкції попередніх розділів використовуються у наступних. Враховуючи прикладний характер підготовки студентів, особлива увага приділяється застосуванню теоретичних відомостей до розв’язання практичних задач, вмінню вільно оперувати при цьому вивченими методами.

Метою навчальної дисципліни «Додаткові розділи природничих наук» є ознайомлення студентів з базовими поняттями та теоремами статики твердого тіла, а також з методами їх застосування в практичній діяльності людей

Основні завдання:

• ознайомити з основними поняттями і теоремами теорії про рівновагу тіл;

• забезпечити засвоєння основних методів статики і набуття практичних вмінь і навичок розв’язування основних прикладних задач;

• ознайомити з історією розвитку механіки деформівних тіл і з сучасним станом досліджень.

У результаті вивчення навчальної дисципліни студент повинен

знати:

• означення основних понять курсу;

• алгоритми розв’язання типових задач;

• формулювання основних теорем про рівновагу системи твердих тіл;

вміти:

• свідомо застосовувати означення, властивості й теореми курсу при розв’язанні теоретичних і практичних питань;

• розв’язувати основні типи задач;

• обґрунтовувати свої міркування при розв’язанні задач.

Тема 1. Аксіоми статики твердого тіла

Тіло називається абсолютно твердим, якщо відстань між будь-якими двома його точками не змінюється при будь-яких взаємодіях тіла з іншими тілами. Абсолютно твердих тіл у природі не існує, однак у багатьох випадках, коли деформація тіла мала, припущення про те, що воно тверде, не призводить до істотних помилок при розв'язанні практичних задач і вагомо полегшує їх розв'язання. Матеріальною точкою будемо називати абсолютно тверде тіло, розміри якого досить малі і яке в умові розв'язуваної задачі можна прийняти за геометричну точку. Надалі для стислості викладання умовимось під термінами тверде тіло або тіло мати на увазі абсолютно тверде тіло.

Для характеристики механічної взаємодії двох тіл використовується поняття сили. Сила – це вектор, який характеризується точкою прикладання, напрямком і величиною (зв'язний вектор). Якщо, не порушуючи стан спокою або руху тіла одну систему сил , яка діє на тіло, можна замінити іншою , то такі системи сил називаються еквівалентними. Якщо система сил еквівалентна одній силі , то таку силу називають рівнодіючою системи сил . Якщо стан спокою тіла або руху не порушується після прикладення до нього системи сил , то таку систему сил називають врівноваженою.

У міжнародній системі одиниць СІ сила виміряється в ньютонах, маса тіла в кілограмах. Сила в один ньютон надає вільному тілу масою 1 прискорення 1 / у напрямку дії сили. Зі шкільного курсу фізики відомо, що на поверхні Землі тіло масою притягується до центра Землі силою , де – прискорення земного тяжіння, тобто

У технічній системі одиниць, якою широко користуються в країнах СНД, за одиницю сили прийнята сила притягування Землею тіла масою . Цю одиницю сили також називають кілограмом, але позначають інакше: . Таким чином, .

Статика – це розділ теоретичної механіки, присвячений методам перетворення одних систем сил в інші еквівалентні системи, а також умовам рівноваги систем сил, прикладених до твердого тіла. Аксіоми статики підтверджуються повсякденною практикою людей.

АКСІОМА 1 (про рівновагу системи двох сил). Для того, щоб тверде тіло перебувало в рівновазі під дією двох сил, необхідно й достатньо щоб ці сили були рівні за величиною, протилежні за напрямком й діяли уздовж однієї прямої, що проходить через їхні точки прикладання. Ця аксіома справедлива й для випадку однієї точки прикладання двох сил і для однієї матеріальної точки.

При розрахунках інженерних конструкцій на міцність часто доводиться розглядати рівновагу «невагомих» прямолінійних стрижнів, на кінці яких діють сили. Якщо стрижень перебуває в рівновазі під дією тільки двох сил, прикладених до його кінців, то згідно з аксіомою 1 (необхідність) ці сили спрямовані уздовж стрижня, рівні за величиною й протилежні за напрямком, тобто сили або розтягують стрижень, або стискають його. Інших варіантів рівноваги стрижня під дією двох сил не існує!

АКСІОМА 2 (про додавання врівноваженої системи сил). До системи сил, що діють на тверде тіло, можна додати (відкинути) врівноважену систему сил. Отримана після додавання (відкидання) нова система сил еквівалентна вихідній системі сил.

Наслідок з аксіом 1 і 2. Не порушуючи стан спокою або руху твердого тіла, можна точку прикладання сили переносити уздовж її лінії дії, тобто уздовж прямій, на якій лежить вектор сили.

Доведення наслідку.

Нехай сила прикладена до точки тіла. Нехай довільно взята інша точка тіла, що лежить на лінії дії сили . Прикладемо до точки тіла дві сили й , рівні за величиною силі . Сили й лежать на прямій . Сила спрямована протилежно силі , а сила – у напрямку сили .

Згідно з аксіомою 1 система сил , врівноважена. Згідно з аксіомою 2 система сил ( , , ) еквівалентна вихідній силі : ( ) ( , , ). Оскільки система сил ( , ) врівноважена, то можна ще раз скористатися аксіомою 2 і вилучити цю систему сил із системи ( , , ). Тоді будемо мати ( , , ) ( ). Таким чином, ( ) ( , , ) і ( , , ) ( ). Отже, ( ) ( ), що й було потрібно довести. 

АКСІОМА 3 (аксіома паралелограма сил). Дві сили й , прикладені до одній точки тіла, еквівалентні одній силі + (їх рівнодіючої). Ця сила спрямована вздовж діагоналі паралелограма, побудованого на векторах і , і за величиною дорівнює довжині діагоналі паралелограма.

Відзначимо, що одну силу , прикладену до деякої точки А тіла, можна замінити сумою двох сил і , прикладених до цієї ж точки тіла й спрямованих уздовж двох заданих пересічних в точці А прямих.

АКСІОМА 4 (третій закон Ньютона). Сили, з якими два тіла діють одне на одне, рівні за величиною й протилежні за напрямками, лінії дії їх збігаються.

Ці сили не утворюють врівноважену систему сил, оскільки прикладені до різних твердих тіл.

Для формулювання ще двох аксіом статики необхідно ознайомитися з поняттям в'язі в механіці. В'язями називають обмеження, які накладаються на переміщення тіла в просторі. У статиці під в'язями розуміють тіла, які перешкоджають даному тілу займати довільне положення в просторі. Сили, з якими в'язі діють на розглядуване тіло, називаються реакціями в'язів. Тіло, на яке не накладені будь-які в'язі, називається вільним. Усі аксіоми статики й засновані на них теореми придатні тільки для вільних тіл. Щоб застосовувати їх до невільних тіл використовується

АКСІОМА 5 (принцип звільнення). Усяке невільне тверде тіло можна вважати вільним, якщо відкинути всі накладені на нього в'язі та замінити їхню дію на тіло відповідними реакціями.

АКСІОМА 6 (принцип затвердіння). Якщо нетверде тіло (деформівне тіло) перебуває в рівновазі, то його можна вважати твердим і застосовувати до нього усі аксіоми й теореми статики.

Перейдемо тепер до опису реакцій в'язів, які часто зустрічаються на практиці.

1. Ідеально гладка поверхня (поверхня без тертя). Якщо в'яззю для розглядуваного твердого тіла є абсолютно гладка (у механічному та геометричному сенсах) поверхня іншого тіла, то сила реакції такої поверхні (якщо дотик тіл відбувається в одній точці) спрямована по нормалі до цієї поверхні незалежно від того які інші сили прикладені до розглядуваного твердого тіла.

2. Гнучка нерозтяжна нитка (канат, мотузка, трос). Реакція гнучкої нерозтяжної нитки спрямована по дотичній до нитки (у точці з'єднання нитки із твердим тілом) убік відкинутої частини нитки. Цю реакцію називають силою натягу нитки.

3. Ідеальний циліндричний шарнір. Якщо розглядуване тверде тіло шарнірно з’єднано з іншим тілом, тобто може вільно обертатися навколо осі шарніра відносно іншого тіла, то реакція такої в'язі проходить через вісь шарніра і спрямована перпендикулярно осі шарніра.

Зазвичай реакцію циліндричного шарніра розкладають на дві складові за двома заданими напрямками.

4. Рухлива шарнірна опора. Реакція такої опори проходить через вісь шарнірного з'єднання тіла з опорою й спрямована перпендикулярно поверхні, по якій перекочуються циліндри під опорою.