12

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра программного обеспечения вычислительной

техники и автоматизированных систем

Контрольная работа № 2

по дисциплине «Высшая математика № 1»

(Учебное пособие «Линейная алгебра и

аналитическая геометрия»,

автор Магазинников Л.И., Магазинникова А.Л., 2003г. )

Выполнил:

студент ТМЦДО

гр.: з-434-29а

специальности 220400

Ковалева Лилия Олеговна

15 июля 2004 г.

г. Норильск

2004г

Вариант 2.9

1. Даны координаты вершин треугольника , , . Запишите общее уравнение средней линии треугольника, параллельной .

Решение: Находим координаты точек средней линии треугольника, параллельной .

, . Уравнение прямой можно записать в виде , где , , , , , , , , .

Ответ: .

2. В прямоугольном треугольнике известны: уравнения медианы, проведенной из вершины прямого угла, и вершина . Найдите координаты вершины треугольника.

Р

ешение: найдем уравнение прямой , как прямой проходящей через две точки ; (уравнение с угловым коэффициентом) . Из условия перпендикулярности катетов и , , тогда , уравнение , проходящей через точку будет ; или . Пусть , тогда . Так как - медиана треугольника, проведенная к стороне , то - середина отрезка , координаты этой точки или . Точка принадлежит прямой , тогда ; ; ; ; , тогда координаты вершины треугольника , , т.е. .

Ответ:

3. Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно оси .

Решение: Данная плоскость параллельна векторам и , поэтому её вектор нормали

Записываем уравнение плоскости , . Так как плоскость проходит через точку , то , , . Искомое уравнение имеет вид .

Ответ:

4. Найдите коэффициент в уравнении плоскости , проходящей через точки , параллельно прямой .

Решение: найдем канонические уравнения заданной прямой . Искомая плоскость параллельна вектору и направляющему вектору прямой. Тогда уравнение плоскости можно записать в виде (с учетом того, что она проходит через ) , или . , сравнивая полученное уравнение с заданным видим, что , , .

Ответ: .

5. При каких значениях параметров и прямая параллельная прямой .

Решение: прямые в пространстве параллельны, если параллельны и их направляющие векторы. Найдем канонические уравнения заданных прямых. , пусть , тогда система примет вид , вычитая из первого уравнения второе получим , это уравнение представляем в первом ; ; - параметрические уравнения прямой, тогда канонические уравнения этой прямой . Направляющим вектором этой прямой возьмем . Преобразуем к каноническому виду прямую , пусть , тогда ; . Направляющий вектор этой прямой . Из условия следует, что . Тогда выполняется ; , решая последнюю систему получаем: , .

Ответ: , .

6. Найдите длину отрезка, отсекаемого от оси аппликат, плоскостью, содержащей прямую и отсекающей на осях абсцисс и ординат одинаковой длины отрезки.

Р

ешение: пусть заданная плоскость пересекает координатные оси в точках ось в , ось в , ось в , из условия . Плоскость параллельна направляющему вектору прямой и вектору или вектору , . Поэтому вектор нормали плоскости . .

Возьмем , , тогда уравнение плоскости вида , точка из условия принадлежит этой плоскости, найдем . ; . Уравнение плоскости . Найдем , точки принадлежащей плоскости, тогда ; . Отсекаемый отрезок на оси , или запишем уравнение плоскости в виде (уравнение плоскости в отрезках) или , как видим, отсекаемые отрезки осью и равны 15, осью 10.

Ответ: 10.

7. Найдите уравнение касательной плоскости к сфере в точке .

Решение: преобразуем уравнение , выделяя полные квадраты ; . Центр сферы в точке , . Вектор , где - точка касания, - вектор нормали касательной плоскости . Тогда уравнение этой плоскости , так как точка принадлежит плоскости, то , . Тогда уравнение касательной плоскости или .

Ответ:

8. Дана кривая .

   1. Докажите, что эта кривая - гипербола.

   2. Найдите координаты её центра симметрии.

   3. Найдите действительную и мнимую полуоси.

   4. Запишите уравнение фокальной оси.

   5. Постройте данную гиперболу.

Решение: преобразуем уравнение , выделяя полные квадраты ; . Выделим новую систему координат связанную уравнениями . Получили:

1. - каноническое уравнение гиперболы , .

2. Действительная ось , мнимая ось . Действительная полуось , мнимая полуось .

3. Уравнение фокальной оси , . и - фокусы гиперболы , , - в системе , , - в системе . , , так как .

4. Уравнение асимптот .

5. Построение:

9. Дана кривая .

   1. Докажите, что данная кривая - парабола.

   2. Найдите координаты её вершины.

   3. Найдите значение её параметра .

   4. Запишите уравнение её оси симметрии.

   5. Постройте данную параболу.

Решение: преобразуем исходное уравнение выделяя полные квадраты ; ; ; . Выделим новую систему координат связанную с . Уравнение примет вид - каноническое уравнение параболы, здесь . Вершина параболы ; . - ось симметрии. .

Построение:

10. Дана кривая

    1. Докажите, что эта кривая – эллипс.

    2. Найдите координаты центра его симметрии.

    3. Найдите его большую и малую полуоси.

    4. Запишите уравнение фокальной оси.

    5. Постройте данную кривую.

Решение: Приводим квадратичную форму к главным осям. Ее матрица . Записываем характеристическое уравнение этой матрицы , . Его корни , - являются собственными числами, так как , то кривая – эллипс. Координаты собственного вектора, отвечающего числу , удовлетворяют уравнению . В качестве базисного берем вектор . Другой базисный вектор . Записываем матрицу перехода от базиса к . , тогда . Новые координаты связаны со старыми соотношениями , . Уравнение в новой системе или , . После выделения полных квадратов, получаем Перейдем к новой системе координат по формулам . Теперь уравнение примет вид , причем . Решая систему , найдем координаты нового начала в старой системе координат. Строим кривую. Для этого сначала в старой системе строим новую систему координат. Новые оси направленные по прямым и . В системе строим эллипс. Зная уравнение можно дать полную геометрическую характеристику эллипса. Большая полуось равна 3, малая - 1. Расстояние между фокусами . Эксцентриситет . Уравнение фокальной оси .

Построение:

- центр симметрии;

- большая полуось;

- малая полуось;

- фокус.