Контрольная работа 2 / 2- 3_Высшая математика_7

МИНИСТЕРСТВО высшего

образования РФ

Томский Государственный Университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Контрольная работа №2

по высшей метематике

Вариант №3

1)Записать общее уравнение прямой, проходящей через точку М(-2, 4) перпендику-лярно прямой x+2y+5=0. Найти площадь треугольника, образованного данной прямой с осями координат.

Решение:

Так как прямые перпендикулярны, то и векторы их нормалей также перпендикулярны. Находим вектор нормали прямой x+2y+5=0. Этот вектор равен (1, 2). Вектор нормали прямой, перпендикулярной данной, перпендикулярен её нормали, и поэтому равен (2, 1). Уравнение прямой, перпендикулярной данной имеет вид 2x-y+C=0. Так как эта прямая проходит через точку М(2, 4), то

-4-4+С=0 => С=8. Отсюда мы получаем, что уравнение прямой таково: 2x-y+8=0

Находим точки пересечения с осями координат

При х=0, у=8.

При у=0, х=-4.

Итак, прямая 2x-y+8=0 пересекает ось х в точке –4, а ось у в точке 8

Находим площадь треугольника

|8(-4)/2|=16

Ответ: 2х-у+8

16 ед.²

2)Записать общее уравнение прямой, проходящей через точку М(-2, 2) и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью 4,5 ед².

Решение:

Пусть уравнение прямой — kx+b=y, тогда эта прямая пересекает ось OY в точке (0,b), а ось OX в (-b/k, 0). Площадь треугольника равна –b²/2k. Тогда мы можем записать:

–b²/2k=4.5 => b²=-9k

y=kx+b, а так как эта прямая проходит через точку (-2, 2), то –2k+b=2 => 2b²+9b-18=0

D=9²-42(-18)=225=15²

b_1,2==-6, 3/2

Так как b положительно(1-ый координатный угол), то b-6 =>b=3/2 =>k=-1/4 y=-1/4x+3/2 => x+4y-6=0

Ответ: x+4y-6=0

3)Даны вершины треугольника A(2,1,0), B(3,-1,1), C(1,2,-4). Записать общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярно плоскости треугольника АВС.

Решение:

Найдём сначала уравнение плоскости треугольника АВС. Пусть l₁=AB=(1,-2,1) и l₂=BC=(-2,3,5). Находим вектор нормали данной плоскости

N₁=det=-13i-7j-k || (13,7,1)

Тогда уравнение плоскости имеет вид:

13x+7y+z+C₁=0

Подставляем x=2, у=1, z=0, получаем:

С₁=-33

Следовательно, уравнение плоскости таково:

13x+7y+z-33=0

Теперь находим вектор, перпендикулярный векторам АВ и N₁

N₂= =5i+12j+19k || (5,12,19)

5x+12y+19z+C₂=0

Так как данная прямая проходит через А, то С₂=-22

Следовательно, уравнение плоскости имеет вид 5x+12y+19z-22=0

Ответ: 5x+12y+19z-22=0

4)Найти расстояние от точки Р(1,2,0) до прямой х-8/3 = у-1/-4 = z/0

Решение:

Переходим к параметрическому уравнению в координатной форме, подставляя х-8/3 = у-1/-4 = z/0=t

x=3t+8

y=-4t+1

z=0t+0

Находим r₀ — радиус-вектор произвольной точки данной прямой. При t=0 эта точка (8,1,0).l — направляющий вектор прямой, в данном случае l=(3;-4;0). Так как r₁— радиус-вектор точки Р равен (1;2;0), то r₁-r₀=(-7,1,0)

[r₁-r₀,l]== 25k+0i+0j=(0;0;25). => |[r₁-r₀]|=25

|l|==5

d==25/5=5

d=5ед

Ответ: d=5 ед

5)Найти длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, которая проходит через точку А(1,1,6) перпендикулярно вектору АВ, где В — точка пересечения медиан треугольника, вершины которого совпадают с точками пересечения соей координат с плоскостью 12x+6y+z-24=0

Решение:

Найдём точки пересечения осей координат с плоскостью 12x+6y+z-24=0:

При x=0, y=0 =>z(0,0,24)

При x=0, z=0 =>y(0,4,0)

При y=0, z=0 =>x(2,0,0)

Так как все три медианы пересекаются в одной точке, то достаточно знать точку пересечения только двух медиан. Пусть M и N — основания медиан из X иY соответственно. Находим их координаты

М=()=(0,2,12),

N=()=(1,0,12)

Находим уравнения XM и YN:

XM=(-2;2;12)

x=2-2t₁

y=0+2t₁ …………………………………………………. ………(1)

z=0+12t₁

YN=(1;-4;12)

x=t₂

y=4-4t₂ ……………………………………………………………(2)

z=12t₂

Найдём точку их пересечения, решая систему уравнений:

=> t₁=t₂=2/3

Подставляя t₂ в (2) получим, что XM и YN пересекаются в точке В=(2/3,4/3,8)

(2/3,4/3,8)-(1,1,6)=(-1/3,1/3,2)||(1,-1,-6)

Так как плоскость перпендикулярна вектору АВ, то она имеет вид:

x-y-6z+C=0

Подставляя x=1, y=1, z=6, получим, что С=36, следовательно, уравнение плоскости является x+y+6z+36=0.При x=0,z=0 получаем y=36

Ответ: 36 ед

6)Две прямые параллельны плоскости 4x+3y+6z=0. Первая прямая проходит через точку Р(1,2,3) и пересекает ось абсцисс, а вторая проходит через точку Q(3,0,0) и пересекает ось ординат. Найти косинус острого угла между направляющими векторами этих прямых.

Решение:

Пусть первая прямая проходит через точку (x₀,0,0) пересекая ось абсцисс, тогда её направляющий вектор равен l₁=(1-x₀,2,3)

Направляющий вектор второй прямой равен l₂=(3,-y₀,0), где y₀—точка пересечения с осью ординат. Так как N=(4,3,6), где N—вектор нормали к данной плоскости и (l₁,N)=0 и (l₂,N)=0, то

(1-x₀)4+23+63=0 => x₀=7

34-y₀3+06=0 => y₀=4

Получили, что l₁=(-6,2,3), а также l₂=(3,-4,0)

cos ===

Но этот угол острый, следовательно, его косинус должен быть положительным, и поэтому cos =26/35

Ответ: 26/35

7)Найти координаты центра С(x₀,y₀) окружности радиусом 5, касающейся прямой 3x+4y+6=0 в точке М(2,0), если точка С расположена в первой четверти.

Решение:

Если С находится в первой четверти, то x₀>0,y₀>0. Так как расстояние равно 5, то нужно отложить по обе стороны от точки прямой (2,0) перпендикуляр длиной 5. Находим вектор нормали. Он равен (3,4). Так как его длина равна 5,то отложив этот вектор от точки М по обе стороны от линии получим возможные координаты точки С.

(5,4) и (-1,-4).

Вариант С(-1,-4) невозможен так как x₀>0 и y₀>0, поэтому точка С имеет координаты (5,4)

Ответ: (5,4)

8) Дана кривая 9x²-4y²-18x+56y-223=0

а) Доказать, что эта кривая—гипербола

б) Найти координаты её центра симметрии

в) Найти действительную и мнимую полуоси

г) Записать уравнение фокальной оси

д) Построить данную гиперболу

Решение:

9x²-4y²-18x+56y-223=(3x)²-2(3x)3+9-((2y)²-2(2y)14+196)-36)=0 => (3x-3)²-(2y-14)²=36 9(x-1)²-4(y-7)²=36

=> =>

Следовательно, эта кривая — гипербола. При x-1=0 => x=1, y-7=0 => y=7

Отсюда центром симметрии является точка (1,7). Действительная полуось равна 2

Мнимая полуось равна 3

Уравнение фокальной оси является функция y₀=0, т.е. у=7

Уравнениями асимптот являются прямые

y-7=(x-1) и y-7=(x-1) или

2y-3x-11=0 и 2y+3x-17=0

Ответы:

б) (1,7)

в) a=2, b=3

г) y-7=0

д)

9) Дана кривая х²+2х-2у+5=0

а) Доказать, что эта кривая— парабола

б) Найти координаты её вершины

в) Записать значение её параметра р

д) Построить эту параболу

Решение:

Квадратичную форму х²= 0 приводим к главным осям, для этого записываем матрицу квадратичной формы.

B=

Для того, чтобы найти её собственные числа и собственные векторы нужно решить характеристическое уравнение.

=0 => -(1-)=0 => ₀=0, ₁=1

Для числа ₀=0 получаем систему

Для числа ₁=1 получаем

Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому

Тогда уравнение кривой в новом базисе будет выглядеть так:

Видим, что р=1. Совершим параллельный перенос осей координат в новое начало О₁ по формулам

Х₂=х₁-2

У₂=у₁+1

Б)(-1,2)

В)х+1=0

Г )р=1

Д)

10)Дана кривая 8x²+17y²+12xy-28x-46y=43

а)Доказать, что эта кривая — эллипс

б)Найти координаты центра его симметрии

в)Найти его большую и малую полуоси

г)Записать общее уравнение фокальной оси

д)Построить данную кривую

Решение:

Квадратичную форму 8x²+17y²+12ху=0 приводим к главным осям

=0

(8-)(17-)=36

136-25+²=0

(-20)(-5)=0

₀=20, ₁=5

Данная кривая является эллипсом, так как ₁₂>0

Для ₁=20 получаем

-12₁+6₂=0

Из этого уравнения следует, что ₂=2₁

Так как ₁² + ₂² =1, то 5₁²=1 => ₁=, ₂=

В качестве базисного вектора i₁ примем вектор (,)

Для ₂=5 получим 3₁+6₂=0 => ₁= -2₂

В качестве базисного вектора j₁, аналогично предыдущему случаю примем вектор (-,)

Записываем матрицу Q перехода от базиса (0,i,j) к базису (0,i₁,j₁):

Q = , Q^-1 = Q^T =

Тогда получаем, что координаты преобразуются по правилу:

, а также

Преобразуем уравнение кривой 8x²+17y²+12xy-28x-46y=43 как

20 + 5  24+ 2= 43

[(2x₁)² 2·2x₁·6+ 36] + [(y₁)² + 2·y₁·1+1] = 6

(2x₁6)² + (y₁+1)² =6

+ =1

+=1

+=1

Совершаем параллельный перенос осей координат в новое начало О₁ по формулам

Центром симметрии данного эллипса является точка x₂=0, y₂=0, т.е. центром симметрии является точка (1/5,7/5)

Малая полуось равна 2

Большая полуось равна 4

Уравнение фокальной оси имеет вид х₂=0 или или

Ответы:

б)(1/5,7/5)

в)2 и 4

г)х+2у-3=0

д)