Министерство образования РФ.

Томский Государственный Университет

Систем управления и радиоэлектроники

(ТУСУР)

Контрольная работа № 2

по высшей математике

Вариант№3

Задание№1.

Записать общее уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; 4) перпендикулярно прямой x+2y+5=0. Найти площадь треугольника, образованную данной прямой и осями координат.

Решение:

Запишем уравнение прямой x+2y+5=0 в виде ,

Прямая, перпендикулярная ей имеет угловой коэффициент

Ищем уравнение новой прямой:

Площадь треугольника, образованного данной прямой и осями координат

, где - отрезок, отсекаемый на оси OX;

- отрезок, отсекаемый на оси OY;

(кв.ед).

Ответ: ; (кв.ед.)

Задание№2.

Записать общее уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; 2) и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью S=4,5 кв.ед.

Решение:

(1)

Уравнение прямой в отрезках : (2)

С учетом данных, подставив в (1) значение S, а в (2) значения координат точки M, получим систему уравнений, относительно a и b.

По условию задачи, прямая распологается в первом координатном углу, следовательно, принимаем

Уравнение прямой:

Ответ: - общее уравнение прямой.

Задание№3.

Даны вершины треугольника А(2, 1, 0), В(3, -1, 1) и С(1, 2, -4). Записать общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярно плоскости треугольника АВС.

Решение:

Составляем уравнение плоскости, проходящей через плоскость треугольника:

Составляем уравнение прямой АВ:

,

Составляем уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ и перпендикулярно плоскости АВС:

Ответ: - общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярно к плоскости треугольника АВС.

Задание№4

Найти расстояние от точки Р(1, 2, 0) до прямой

Решение:

Расстояние от точки до прямой в пространстве определяется по формуле:

Ответ: d=5

Задание№5

Найти длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, которая проходит через точку А(1, 1, 6), перпендикулярно вектору АВ, где В – точка пересечения медиан треугольника, вершины которого совпадают с точками пересечения осей координат с плоскостью

Решение:

Находим вершины треугольника с осью OX:

y=0; z=0; 12x-24=0 => x=2 C (2; 0; 0)

с осью OY:

x=0; z=0; 6y-24=0 => y=4 D (0; 4; 0)

с осью OZ:

x=0; y=0; z-24=0 =>z=24 E (0; 0; 24)

Находим уравнения медиан этого треугольника , чтобы найти координаты точки В.

Точка F – середина стороны, противоположная вершине С.

Точка F(0; 2; 12) – середина отрезка DE.

Ищем середину отрезка CD – точку G.

; ;

Точка G(1; 2; 0).

Координаты середины CE – точка K.

; ;

Точка K(1; 0; 12).

Уравнение медиан:

CF: ;

DK: ;

EG:

Точка пересечения медиан:

Можно взять любую пару уравнений медиан, таким образом точка пересечения медиан

Координаты вектора

Ищем уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору АВ:

, получим:

Длина отрезка, отсекаемого этой плоскостью от оси ординат:

Ответ:

Задание№6

Две прямые параллельны плоскости Первая прямая проходит через точку P(1, 2, 3) и пересекает ось абсцисс, а вторая – проходит через точку Q(3, 0, 0) и пересекает ось ординат. Найти косинус острого угла между направляющими векторами этих прямых.

Решение:

Косинус угла между прямыми:

(1)

Условие параллельности прямой и плоскости:

(2)

Каноническое уравнение для первой прямой (используем точки Р и (x₀, 0, 0):

; ;

Чтобы найти воспользуемся (2)

, тогда

Каноническое уравнение для второй прямой (используем точки Q и (0, y₀, 0):

Чтобы найти воспользуемся (2):

, тогда =4

Найденные значения направляющих коэффицентов подставляем в (1):

Ответ: = 0,749

Задание№7

Найти координаты центра С(x₀, y₀) окружности радиусом 5, касающейся прямой в точке М(2, 0), если известно, что точка С расположена в первой четверти.

Решение:

Точка Слежит на перпендикуляре к прямой , так как эта прямая является касательной.

Предварительно перепишем уравнение заданной прямой в каноническом виде:

Тогда уравнение перпендикуляра:

Расстояние от точки до прямой :

Получим систему уравнений относительно :

;

Ответ:

Задание№8

Дана кривая

1. Доказать, что эта кривая – гипербола.

2. Найти координаты ее центра симметрии.

3. Найти действительную и мнимую полуоси.

4. Записать уравнение фокальной оси.

5. Построить данную гиперболу.

Решение:

1.

Положим , тогда

Данная кривая – гипербола.

2.

Координаты центра:

Центр гиперболы: С(1; 7)

3.

Действительная полуось a =2; мнимая полуось b=3.

4.

Фокальные оси

5.

Построение гиперболы:

а). Отмечаем центр гиперболы.

б). Отмечаем полуоси.

в). На основе полуосей строим прямоугольник.

г). Асимптоты проходят через диагонали этого прямоугольника.

Задание№9

Дана кривая

1. Доказать, что данная кривая – парабола.

2. Найти координаты ее вершины.

3. Найти значение ее параметра p.

4. Записать уравнение ее оси симметрии.

5. Построить данную параболу.

Решение:

1.

Введем замену , получим это каноническое уравнение параболы вида , здесь

2. Координаты вершины параболы:

Точка А(-1; 2) – вершина параболы.

3. Параметр параболы: р = 1

4. Ось симметрии:

5. Построение:

а). отмечаем вершину;

б). ветви параболы направлены вверх.

Задание№10

Дана кривая

1. Доказать, что эта кривая – эллипс.

2. Найти координаты центра его симметрии.

3. Найти его большую и малую полуоси.

4. Записать общее уравнение фокальной оси.

5. Построить данную кривую.

Решение:

Квадратичная форма

Приводим ее к главным осям; ее матрица ;

Записываем характеристическое уравнение этой матрицы:

Корни являются собственными числами.

Так как , то кривая является

эллипсом.

Для новый базисный вектор для базисный вектор

Записываем матрицу Q перехода от базиса к :

,

Выражаем новые координаты и через старые:

Записываем исходное уравнение в новой системе координат:

Выделяем полные квадраты:

Перейдем к новой системе координат по формулам:

Получим:

Решаем систему:

Нвое начало

Новые оси направлены по прямым (ось ) и

(ось )

- большая полуось;

- малая полуось.