Контрольная работа 2 / 2- 3_Высшая математика_4

Министерство образования

Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра высшей математике

Контрольная работа №2

по высшей математике

Аналитическая геометрия

Вариант 2.3

1.

Записать общее уравнение прямой, проходящей через точку М(-2;4) перпендикулярно прямой x+2y+5=0. Найти площадь треугольника, образованного с осями координат.

Решение:

В качестве вектора нормали прямой можно принять любой вектор, перпендикулярный вектору N(1;2), например вектор N₁(-2;1).По правилу (Если прямая проходит через точку М₀(X₀Y₀) перпендикулярно вектору N=(A;B), то ее общее уравнение можно записать в виде Ax + By – (Ax₀+ By₀)=0) находим искомое уравнение:

y - 2x – 8 = 0

S_∆=½*a*h, где а - основание треугольника, h-высота.

Треугольник составлен осями координат и прямой. Находим точки пересечения с OX и OY. Координаты вершин треугольника равны (-4;0) (0;0) (0;8). За высоту возьмем равную h=8 так как она идет перпендикулярна OX. Основание равно а=4.

S_∆=½*a*h=½*4*8=16 кв. ед.

Ответ: y - 2x – 8 = 0 - уравнение прямой; S_∆=16 кв. ед.

2.

Записать общее уравнение прямой проходящей через точку М(-2;2) и отсекающего от первого координатного угла треугольник площадью S=4,5 кв. ед.

Решение:

Будем искать уравнение прямой в виде y=kx+b. По условию задачи b>0; k<0. Так как эта прямая проходит через точку М(-2;2) , то 2=-2(-k)+b 2=2k+b. Находим точки пересечения искомой прямой с осями координат:

B(0;b) A(-;0) Площадь треугольника равна S=. По условию задачи S=,

=, т.е. 2b²=18k b²=9k.

Имеем систему отсюда 9b-2b²-18=0 Решим квадратное уравнение. Поскольку b>0, то b=1.5; k<0, то k=-0.25

Получилось искомое уравнение y=(-0.25)x+1.5, или -0.25х- у+1.5=0

Ответ: -0.25х- у+1.5=0 – искомое уравнение прямой.

3.

Даны вершины треугольника А(2,1,0), В(3,-1,1) и С(1,2,-4). Записать общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярно плоскости треугольника АВС.

Решение:

Обозначим плоскость треугольника α , а плоскость, проходящая перпендикулярно, - β.

Вектор N(1,-2,1) || плоскости α, так как плоскость β проходит через точку А.

Вектор N₁(-2,3,5) ┴ β . Запишем общее уравнение для плоскости

Ax + By + Cz + D = 0. В нашем случае А=-2, В=3, С=5 т.е.

-2x + 3y + 5z + D =0. Поскольку т. А(2,1,0) лежит в плоскости, то -4+3+0+С=0

отсюда С=1.

Уравнение -2x + 3y + 5z + 1 = 0 является искомым.

4.

Найти расстояние от точки Р(1,2,0) до прямой

Решение:

Преобразуем из канонического уравнения в параметрическое:

- каноническое

параметрическое:

x=3t+8

y=-4t+1

z=0

Формула вычисления d от точки до прямой: d=(│[r₁-r₀,1]│)/│l│

В нашем случае r₁₌{1;2;0}, r₀={8;1;0}, l={3;-4;0}.

Находим i, j, k

[r₀- r_1,l] = -7 3 0 = i*0+j*0+19k │[r₀- r_1,l]│=√0²+0²+19²=√19²=19

3 -4 0

│l│= √ 9+16+0=√25=5

d=19/5=3,8

Ответ: расстояние от точки до прямой равно d=3,8

5.

Найти длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, которая проходит через точку А(1,1,6) перпендикулярно вектору АВ, где В – точка пересечения медиан треугольника, вершины которого совпадают с точками пересечения осей координат с плоскостью 12х+6у+z-24=0

Решение.

Найдем координаты точек пересечения β:12х+6у+z-24=0 с осями координат, используем уравнение плоскости в отрезках

Найдем координаты центра тяжести β, А₂А₃ – медиана.

Найдем координаты А₃

А₃ х₃=

Медианы пересекаясь делятся 2:1, найдем координаты В пересечения медиан λ=2

Найдем

Найдем длину отрезка отсекаемого β от OY

отрезок равен 36

Ответ: отрезок равен 36.

6.

Две прямые параллельны плоскости 4х+3у+6z = 0. Первая прямая проходит через точку Р(1,2,3) и пересекает ось абсцисс, а вторая – проходит через точку Q(3,0,0) и пересекает ось ординат. найти косинус острого угла между направляющими векторами этих прямых.

Решение.

Первая прямая проходит чрез две прямые Р(1,2,3) и М₀0(х,0,0) Направленный отрезок задает геометрический вектор ║ прямой.

=(х-1, -2, -3). Определим координаты нормального вектора плоскости.

= (4, 3, 6). Найдем точку пересечение первой прямой с осью абсцисс.

4х-4-6-18=0

4х=28

х=7 Точка пересечения первой прямой с осью абсцисс равна М₀0(6,0,0)

Аналогично найдем точку пересечения второй прямой с осью ординат.

М₁(0,у,0) =(-3,у,0)

-12+3у=0

3у=12

у=4 Точка пересечения второй прямой с осью ординат равна М₁(0,4,0).

Найдем косинус угла между векторами =(6, -2, -3) и =(-3,4,0)

cosφ==

Ответ: cosφ=

7.

Найти координаты центра С(х₀,у₀) окружности радиусом 5, касающейся прямой 3х+4у-6=0 в точке М(2,0), если известно, что точка С расположена в первой четверти.

Решение.

Уравнение окружности (х-х₀)²+(у-у₀)²=25

т.к. М лежит на окружности, то (х-2)²+у²=25

т.к. прямая касается окружность

х=-1 – исключим т. к. центр находиться в первой четверти.

х₀=5

С(5;4)

Ответ: центр в точке С(5;4).

8.

Дана кривая 9х²-4у²-18х+56у-223=0.

1)Доказать что эта кривая – гипербола.

9х²-4у²-18х+56у-223=0. Выделяя полные квадраты, данное уравнение можно записать в виде:

9(х-1)²-4(у-7)²=36

4(х-1)²-9(у-7)²=1 или

Положим х₁=х-1 у₁=у-7. Тогда . Данная кривая – гипербола.

2)Найти координаты её центра симметрии.

Центр данной кривой в точке х₁=х-1=0 у₁=у-7=0 т.е. в точке (1,7)

3) Найдем действительную и мнимую полуоси

Действительная полуось а=√4=2

Мнимая полуось в=√9=3

b²=c²-a² c²= a² +b² c²=4+9=13 c≈±√13≈3.6

F₁(-2.6;7) F₂(4.6;7)

x-1=-3.6 x=-2.6

x-1=3.6 x=4.6

Уравнение фокальной оси у-7=0 у=7

y₁

y

3

2

1

● 8 0 ● x₁

-4 F₁ -3 -2 -1 1 2 3 F₂ 4

7 -1

6 -2

5 -3

4

3

2

1

x

1 2 3

9.

Дана кривая х²+2х-2у+5=0.

1) Доказать, что данная кривая – парабола.

Выделяя полный квадрат, получаем (х+1)²-2у+4=0

Если положить х₁=х+1 у₁=у-2

Вершина параболы(-1;2).Ветви вверх.

2=2р

Значение параметра р=1

Уравнение оси симметрии х=-1 х²+2х-2у+5=0

x	0	1	-1	-3
y	2.5	4	2	4

Построим параболу

y

4

3

2

.

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

-1

-2

10.

Дана кривая 8х²+17у²+12ху-28х-46у=43.

1)Доказать, что эта кривая – эллипс.

Квадратичную форму В(х,у)= 8х²+12ху+17у² приведем к главным осям. Для этого записываем матрицу этой квадратичной формы В= и находим собственные числа. Записываем и решаем характеристическое уравнение матрицы

В: =

Так как собственные числа имеют

одинаковый положительный знак, то данное уравнение 8х²+17у²+12ху-28х-46у=43 определяет кривую типа эллипс.

Находим собственные векторы матрицы В. Для

отсюда ,

Для отсюда

От старого базиса (О;i;j) перейдем к новому, рассмотрим матрицу переходу

- каноническое уравнение эллипса. а=2, в=4.

x+2y-3=0 (O₁; y₂) -2x+y+1=0 (O₁; x₂)

O₁(1;1)

c²= b²-a² c²=16-4=2√3

Фокальная ось О₁х₂ , т.к. в>а отсюда уравнение Фокальной оси:

2х-у-1=0

у

х₁

у₁

₀ 4

2 ⁰

1 • О₁

2 1 1 2 х

⁰

1

_{4 0}