Контрольная работа 2 / 2- 4_Высшая математика_2

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Контрольная работа №2

по высшей математике

Выполнил студент

Вариант №4

Томск 2003г.

1. Составить общее уравнение прямой, если точка Р(2,5) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.

Если прямая проходит через точку М₀ (X₀,Y₀) перпендикулярно вектору N(A;B), то её общее уравнение можно записать в виде Ax+By-(Ax0+By0)=0, где вектор N- перпендикуляр опущенный из начала координат в точку Р. Тогда общее уравнение прямой принимает вид:

Ax+By-(2A+5B) =0 x+y-7=0

Ответ: x+y-7=0

2. Записать общее уравнение прямой, параллельной прямой 4x+2y+5=0 и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью 9 кв. ед.

Найдем уравнение прямой:

y=kx+b. y= -2x-2,5.

k= -2, b=-2,5;

Площадь треугольника ОАВ равна S=, по условиям задачи S=9.

Отсюда 9=

Из условия параллельности прямых: b= =6, y=-2x+6

или 2y+4x-12=0.

Ответ: 2y+4x-12=0.

3. Записать общее уравнение плоскости, проходящей через точку М(4,-1,3) параллельно оси ОХ и перпендикулярной к плоскости х-3у+4z-5=0.

Поскольку искомая плоскость перпендикулярна к плоскости х-3у+4z-5=0, то она параллельна её вектору нормали I₁ =N₁=(1,-3,4) и I₂=N₂=(1,0,0). Поэтому уравнение плоскости можно записать в виде:

4j+3k.

Получили уравнение плоскости 4y+3z+d=0.

Так как плоскость проходит через точку М(4,-1,3), то -4+9+d=0, d=-5.

Ответ:4y+3z-5=0.

4. Найти длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, содержащей прямую и параллельной вектору а=(1,0,2).

Из уравнения прямой определяем координаты её направляющего вектора I=(1,3,4).

Найдем уравнение плоскости. Данная плоскость параллельна вектору а=(1,0,2) и направляющему вектору прямой I, следовательно, её вектор нормали:

N=[a,I]==-6i-2j+3k

Запишем уравнение плоскости -6x-2y+3z+D=0

Возьмем точку М принадлежащую плоскости и прямой лежащей на оси ординат, тогда её координаты .

Так как плоскость проходит через точку М, то –8-0-23+D=0, D=31.

Уравнение плоскости имеет вид 6x+2y-3z-31=0.

Для нахождения длины отсекаемого отрезка приведем это уравнение к виду уравнения плоскости в отрезках , где a=-D:A, b=-D:B, c=-D:C.

b=-D:B=31:2=15,5. Соответственно длина отрезка 15,5.

Ответ: длина отрезка 15,5

5. Прямая проходящая через точку Р(1,2,3) и пересекающая ось аппликат в точке (0,0,Z₀), параллельна плоскости 2x+y+z+6=0. Найти Z₀.

Прямая параллельна плоскости и следовательно направляющий вектор прямой перпендикулярен вектору нормали плоскости. Прямая проходит через две точки Р(1,2,3) и Р₀(0,0, Z₀). Направленный отрезок Р₀Р, задаёт геометрический вектор р с координатами (1,2,3-Z₀). Определим координаты вектора нормали плоскости N=(2,1,1).

Определим значение Z₀.

Приравняем скалярное произведение векторов к 0

2+2+3-Z₀=0; Отсюда Z₀=7;

Ответ: Z₀=7.

6. Найти координаты точки пересечения с плоскостью x=1 прямой, перпендикулярной плоскости 4x+2y+4z+5=0 и пересекающей две заданные прямые x+1=y=z и 2x=2y=z+4.

7. Найти радиус окружности, если известно, что она касается двух прямых 3x+4y-16=0 и 3x+4y+24=0.

Поскольку , значит прямые параллельны и не совпадают.

Расстояние между прямыми равно диаметру окружности.

Тогда:

D=.

R=D:2=8:2=4.

Ответ: R=4.

8. Дана кривая .

Доказать что кривая гипербола.

Найти координаты её центра симметрии.

Найти действительную и мнимую полуоси.

Записать общее уравнение фокальной оси.

Построить данную гиперболу.

Выделяя полные квадраты данное уравнение можно записать в виде

или

Положим x1=x-2,y1=(y-4). Тогда

Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке

x1=x-2=0,y1=y-4=0,т.е. в точке(2,4).

Найдем действительную и мнимую полуоси:

Уравнение асимптот гиперболы имеет вид y=,или y-4=.

x-3y+10=0.

-x-3y+14=0.

Действительная полуось гиперболы 3, мнимая 1.

Расстояние между фокусами гиперболы равно 2с,

с=.

Координаты фокусов (2-,4), (2+,4).

Общее уравнение фокальной оси будет иметь вид:

или

,

после преобразований y-4=0.

Строим гиперболу:

9. Дана кривая .

Доказать что данная кривая - парабола.

Найти координаты её вершины.

Найти значение её параметра р.

Записать уравнение её оси симметрии.

Построить данную параболу.

Данное уравнение представляет параболу, так как это каноническое уравнение параболы, а ось параболы совпадает с осью ординат. Параметр p равен 2.Уравнение оси симметрии x=0.

Построим данную параболу:

10. Дана кривая .

Доказать что кривая эллипс.

Найти координаты центра её симметрии.

Найти его большую и малую полуоси.

Записать уравнение фокальной оси.

Построить данную кривую.

Приводим квадратичную форму к главным осям.

Её матрица В=.

Записываем характеристическое уравнение этой матрицы:

=

Его корни .Так как ,то кривая эллипс.

Найдем собственный вектор:

Для =(1,2)

Найдем координаты орта собственного вектора:

, второй вектор ортогонален первому (.

Записываем матрицу Q перехода от базиса к :

,

Выражаем новые координаты и через старые:

Записываем исходное уравнение в новой системе координат:

Выделим полные квадраты:

Центр симметрии находится в точке ().

Большая полуось равна 2, малая равна 1.

Строим эллипс:

0