Контрольная работа 2 / 2-10_Высшая математика_3

№1. В прямоугольном треугольнике даны: вершина острого угла А(7,-2) и уравнение 3x-5y+15=0 одного из катетов. Запишите общее уравнение другого катета.

Решение:

A (7, -2); 3x-5y+15=0; 21+10+150 Aданному катету.

y-=-(x-)

3x-5y+15=0; -5y=-3x-15; y=x+3; =.

y-(-2)=-(x-7)

y+2=-/3

3(y+2)+5(x-7)=0

5x+3y-29=0 Ответ: 5x+3y-29=0­ – Общее уравнение другого катета.

№2.Высота проведённая из вершины А(4,4) треугольника АВС, пересекает прямую BC в точке D(1,1). X+2y+1=0 – уравнение высоты, опущенной из вершины В. Определить координаты вершины С.

Решение:

1. Составим уравнение высоты AD по формуле прямой проходящей через две точки.

y=x

2. Найдём координаты точки О как пересечение двух прямых.

; x+2x+1=0: 3x=-1; ; O

3. Составим уравнение стороны ВС по формуле прямой проходящей через точки()

данной прямой y=kx+b

y-=-(x-)

=1; =1; k=1;

y-1=-1(x-1)

y-1=-x+1

y=-x+2 – BC

4. Найдём координаты точки В как пересечение прямых ОВ и ВС.

; x-2x+4+1=0; -x=-5; x=5; y=-3; B(5;-3);

4. Составим уравнение прямой АВ по формуле прямой проходящих через 2 точки.

=4 =5

=4 =-3

; y-4=-7x+28; y=-7x+32 – уравнение прямой АВ.

4. Составим уравнение третьей высоты как прямой проходящей через точку О  прямой АВ.

=-; =-; k=-7;

; ; ;

4. Координаты точки С найдём как пересечение прямой ВС и высоты ОС.

; ; x-2=-7x+14; 8x=16; x=2; y=0:

Ответ: C(2;0)

№3. Запишите общее уравнение плоскости, которая проходит через точку (1,2,3) и ось OY.

Решение:

=0; z-3x=0; 3x-z=0.

Ответ: 3x-z=0.

№4. Найдите значение параметра m в уравнение прямой , если известно, что эта прямая параллельна плоскости x+4y+3z+5=0.

Решение:

Так как прямая параллельна указанной плоскости то направление вектора прямой  направлению вектора плоскости что , т.е. L+4N+3P=0 (1)

Системой задаётся прямая проходящая через начало координат и лежащая в плоскости YOZ.

Возьмём на этой прямой две точки O(0;0;0) и A(0;;1), поэтому за направление вектора этой прямой можно принять вектор .

найденную координату подставим в (1)

; -3m=-72; m=24;

Ответ: m=24

№5. Найдите длину отрезка, отсекаемого от оси аппликат плоскостью, проходящей через точки и пересекающей оси ординат и абсцисс в точках

Решение:

Составим уравнение плоскости проходящей через три точки и

=-8(y-1)-z(a-1)-2-4(a-1) (x-2) =0

-8y+8-(a-1+2)z-4(a-1)x+8(a-1)=0

-4(a-1)x-8y-(a+1)z+8a=0

т. к. этой плоскости принадлежит точка , то подставим координаты точки в формулу плоскости

x=a; y=0; z=0; -4(a-1)a+8a=0; -4+4a+8a=0; -3a=0; a(a-3)=0

=0 – не удовлетворяет условиям т. к. в против. случае т. совпад.

=3

Поэтому уравнение плоскости примет вид -4(3-1)x-8y-(3+1)z+24=0

-8x-8y-4z+24=0; 2x+2y+z-6=0 – уравнение плоскости.

Т. к. нам надо найти точку пересечения с осью OZ, то x=0; y=0 получим z-6=0

z=6

Значит расстояние от точки О(0;0;0) до точки В(0;0;6) равно 6.

Ответ: 6

№6. Найдите координаты точки пересечения прямой с плоскостью содержащей прямые .

Решение:

Прямые наход. В плоскости будут парал. т. к. напр. коэф. одинак.

: .

p(1;0;-1);

– напр. Вектор прямой

M(x;y;z) – произв. Т. плоскости

Составим уравнение плоскости, проходящие через эти прямые, зная, что векторы ,, – компланарны, тогда их произведение равно 0.

=0

-4(x-1)-4(y-1)+2(z-1)+6(x-1)=0

-2x+2-2y+2+z-1+3x-3=0

x-2y+z=0 – уравнение плоскости проходящей через прямые и

Найдём точки пересечения прямой с плоскостью x-2y+z=0

Выразим x и y через z : x=3z ; y=12z ;

3z-24z+1=0

-20z=0

z=0 x=0 и y=0

Ответ: (0;0;0)

№7. Найдите радиус сферы с центром в точке С(-1;-2;3), если она касается плоскости 2x-2y+z+10=0.

Решение:

Найдём радиус сферы как расстояние от точки С до данной плоскости

R=

Ответ: R=5

№8.Дана кривая

8.1 Докажите, что эта кривая – эллипс

8.2 Найдите координаты центра его симметрии

8.3 Найдите его большую и малую полуоси.

8.4 Запишите уравнение фокальной плоскости.

8.5 Постройте данную кривую.

Решение:

8.1.

– каноническое уравнение эллипса.

2. (4;1) – центр симметрии эллипса

3. Большая полуось равна 3, малая полуось равна 2

4. Фокальная ось y=1

5. Единичный отрезок = 1см

9. Дана кривая

9.1. Докажите, что данная кривая – парабола.

9.2. Найдите координаты её вершины.

9.3. Найдите значение её параметра p.

9.4. Запишите уравнение её оси симметрии.

9.5. Постройте данную параболу.

Решение:

9.1.

– каноническое уравнение параболы

9.2. Координаты вершины (-1;2)

9.3. p=-5

9.4. Ось симметрии y=2

9.5. Единичный отрезок = 1см

10. Дана кривая

10.1. Докажите, что эта кривая – гипербола.

10.2. Найдите координаты её центра симметрии.

10.3. Найдите действительную и мнимую полуоси.

10.4. Запишите уравнение фокальной оси.

10.5. Постройте данную гиперболу.

Решение:

Рассмотрим квадратичную форму

Матрица этой формы имеет вид :

Составим характер. уравнение

D=;

-9; 16 – собственные значения

Найдём собственные векторы

; ; ; ;

Единичный собственный вектор =

; ; ; ;

– единичный собственный вектор.

От старого базиса перейдём к новому базису используя матрицу перехода

Q= ,

Старые координаты (x;y) связаны с новыми соотнош.

или

;

Составим уравнение прямой в новой системе координат.

– каноническое уравнение гиперболы.

10.2. Координаты центра симметрии (-1;-2)

10.3. Действительная полуось равна 4, а мнимая полуось равна 3.

10.4. Запишем уравнение фокальной оси как прямой проходящей через точки (-1;-2) и (1;3,5) по формуле прямой проходящей через две точки.

5,5x+5,5=2y+4

5,5x­­–2y+1,5=0

11x-4y+3=0 – фокальная ось.

10.5.