Контрольная работа 2 / 2- 6_Высшая математика_8

Специальность 060400.

Контрольная работа №2.

Вариант №6.

Задание 1.

Найти пределы последовательностей.

Решение:

а) разделим числитель и знаменатель на старшую степень x:

, т.к. при n каждая из дробей , , стремится к нулю,

= = - 2;

Ответ: - 2;

б) - n имеем неопределённость (), применим формулу

(a – b)(a²+ab+b²) :

- n = =

= ; разделим числитель и знаменатель на старшую степень n – на n, получим:

== - 2;

- т.к. все слагаемые, кроме содержащих n, при n стремятся к нулю.

Ответ: -2.

Задание 2.

Найти пределы функций.

Решение:

а) ; сделаем замену переменной: y = ,тогда при x, y, получим: ; разделим числитель и знаменатель на 5 :

= = 0; Воспользовались св – вом показательной функции y = a:

при а<1 a= 0 , при а>1 a=;

Ответ: = 0;

6) = ==*;

т.к. =1, = -1, = 1*(-1)= -1.

Ответ: -1;

в)выделим целую часть делением числителя на знаменатель:

= , преобразуем так, чтобы использовать второй зам. предел:

=т.к. 0 при x, то

= e; учитывая, что = 2, (разделили числитель и знаменатель на старшую степень), имеем: = e.

Ответ: e.

г)= ==

=*= 1*= ;

Ответ: .

Задание 3.

Выделить главную часть вида c(x + 1) бесконечно малой

(x) = при x - 1. В ответ ввести с затем k.

Решение:

=1,т.к , то

==

==1 и ;

Таким образом:

Ответ: c = , = 1.

Задание 4.

Записать все точки разрыва(слева направо), указывая тип разрыва для функций.

Решение:

1. f(x) = ;

точки разрыва.

Вычислим односторонние пределы:

;

В точке х=-2-разрыв второго рода.

В точке =-1 – разрыв второго рода.

В точке х=3- устранимый разрыв.

2. =

Критические точки х= -2; 1; 3.

Вычислим односторонние пределы в этих точках:

В точке х=-2- разрыв устранимый.

В точке х=1-разрыв первого рода.

В точке х=3- разрыв второго рода.

Задание 5.

Найти производные от данных функций

Решение:

1. 

;

Ответ: 30;

2. 

Ответ: 2;

3. 

Ответ: -1.

Задание 6.

Дана функция . Найти y”. Вычислить .

Решение:

Ответ: y”=5.

Задание 7.

Доказать, что функция удовлетворяет уравнению

Решение:

= ye^xy;

= = y²e^xy;

= xe^xy;

= = x²e^xy;

= = xe^xy = e^xy + xye^xy;

x² – 2xy + y² + 2xyz = x²y²e^xy – 2xy(e^xy + xye^xy) + y²x²e^xy + 2xye^xy =

= x²y²e^xy – 2xye^xy – 2x²y²e^xy + y²x²e^xy + 2xye^xy = 0.

ч.т.д.

Задание 8.

Функция задана неявно уравнением

Вычислить:

Решение:

Задание 9.

Дана функция найти её наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Решение:

Функция имеет максимум или минимум при х=а, если f’=0 и при перемене знака при переходе через точку х=а.

При переходе через х=5 y’=f’’ меняет знак с “-“ на “+” в точке х=5 функция имеет минимум.

Задание 10.

Провести полное исследование функции и начертить её график.

Решение:

ОДЗ:

y’=0 при -2-х³=0 х³=-2; х=-.

Критические точки: и 0:

х				0
y’	-	0	+	-	-
y		min		-
функция	Убывает		Возрастает	-	Убывает

y” при любых х0 кривая вогнута на всей области определения.

Т.к. у”0, то точек перегиба нет.

Пересечение с осью х: у=0 при х=1

Дополнительные точки:

x	-2	-1	-1/2	½	1	2
y	2 ¼	2	4,5	3,5	0	-1,75

Строим график функции.