Контрольная работа 2 / 2- 9_Высшая математика_10

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Контрольная работа № 2

по дисциплине «Высшая математика-1»

(Учебное пособие «Высшая математика. Часть 1: Линейная алгебра,

аналитическая геометрия, введение в математический анализ, дифференциальное исчисление», авторы Ерохина А.П., Байбакова Л.Н., 2004 г.)

Выполнила:

студент ТМЦДО

специальности 060800

9 вариант

2007 г.

Задание 1

Найдите пределы последовательностей:

а)

б) .

Решение

а) .

б)

.

Задание 2.

Найдите пределы функции

а) .

б) .

в) .

г) .

д) .

е) .

Решение.

а) .

б) .

в)

.

г)

.

д)

.

е)

.

Задание 3.

Выделите главную часть вида бесконечно малой при .

Решение.

.

.

Предел = 1 при и .

при равна .

Задание 4.

Найдите все точки разрыва и исследуйте их характер для функций:

а) .

б) .

Решение.

а) Точки подозрительные на разрыв .

В точке разрыв первого рода

В точке разрыв второго рода

Точка - точка устранимого разрыва

б) Точки подозрительные на разрыв .

Точка - точка устранимого разрыва

В точке разрыв первого рода

В точке разрыв первого рода

В точке разрыв второго рода

Задание 5.

Найти производные от данных функций:

а) .

б) .

в) .

Решение.

а) .

.

.

б)

.

.

в)

.

Задание 6.

Дана функция Найти . Вычислить .

Решение.

Задание 7.

Докажите, что функция удовлетворяет уравнению

Решение.

;

, что и требовалось доказать.

Задание 8.

Функция задана неявно уравнением .

Вычислите:

а)

б) .

Решение.

Задание 9.

Дана функция . Найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке .

Решение.

Найдем стационарную точку

Производная не существует при .

не принадлежит заданному отрезку.

Сравним значения

является наименьшим значениями функции на

– наибольшим значениями функции на

Задание 10.

Проведите полное исследование функции и постройте ее график.

Решение.

1. Функция определена везде, кроме

2. . Функция не является четной или нечетной.

3. Функция не периодическая.

4. Пересечение с осями координат происходит только в начале координат

5. Функция имеет разрыв в точке второго рода

Прямая – вертикальная асимптота.

6.

Приравняем к нулю.

В окрестности точки

при и при . В точке функция имеет максимум,

В окрестности точки

при и при . В точке функция не имеет экстремумов.

7.

при

при и при . В точке кривая имеет перегиб.

при . Кривая выпукла на .

при . Кривая вогнута на .

8. Вертикальную асимптоту нашли ранее.

Горизонтальные асимптоты:

. Горизонтальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты: ,

,

– наклонная асимптота.

9. Построим график