Задание №9:

Дана кривая 14y = (x – 8)

1)Доказать, что эта кривая – парабола: каноническое ур-е параболы имеет вид: x= 2py,

преобразуем данное ур-е:

14(y – 0) = (x – 8), Произведём параллельный перенос осей, приняв за новое начало координат (.) О(8, 0) , тогда x= x – 8, y= y, и ур-е относит. новых осей:

x= 14y, что является каноническим ур-ем параболы.

2) Найти координаты её вершины: коорд. вершины относительно первоначального начала координат - (.) О(8, 0).

3) Найти значение её параметра p: из ур-я x= 14y, согласно x= 2py:

p = 14/2 = 7.

4) Записать ур-е её оси симметрии: т.к. коорд. вершины относительно первоначального начала координат - (.) О(8, 0) ось симметрии проходит ч/з (.) О(8, 0) и ур-е оси симметрии: x = 8.

5) Построить данную параболу: 14y = (x – 8),т.к. p = 7 > 0 - ветви направлены вверх

y = (x – 8)/ 14:

Задание №10:

Дана кривая x+3xy + x + 4y = 0,5

1)Доказать, что эта кривая – гипербола:

Преобразуем ур – е с помощью формул поворота осей:

x = (xcosa – ysina), y = (xsina + ycosa):

(xcosa – ysina)+ (xsina + ycosa)+ 3(xcosa – ysina) (xsina + ycosa) +

+ (xcosa – ysina) + 4(xsina + ycosa) = 1/2.

Раскроем скобки и сгруппируем коэф – ты:

(cosa + sina + 3cosasina)x+ (cosa + sina - 3cosasina)y+ 3(cosa + sina)xy +

+ (cosa + 4sina)x + (4cosa – sina)y = 1/2.

Приравняем к нулю коэф – т при xy, получим ур-е :

3(cosa + sina) = 0 или 3(1 - tga) = 0, tga = 0, откуда tga = 1.

Пусть tga =1, тогда a = /4, sina = cosa = 1/.

Подставляя значения sina и cosa, получим:

(1/2 + 1/2 + 3/2)x + (1/2 + 1/2 + 3/2)y + (1/ + 4/)x + (4/ - 1/)y = 1/2

5/2x + 5/x – 1/2y +3/y = 1/2 , вынесем коэф-ты при x и y за скобки

и дополним до полного квадрата:

5/2(x +1/) – 1/2(y – 3/) = -1/2.

Примем за новое начало координат (.) О (1/ , – 3/), x = x +1/,

y = y – 3/. Тогда имеем ур-е: 5 x – y = - 1, или y –5x = 1, или

= 1, что является ур-ем гиперболы.Действительная ось – Oy.

2)Найти координаты центра её симметрии:

- относительно xOy: (.) О (1/ , – 3/).

- относительно xOy : x = (xcosa – ysina) = 1/*1/ - (– 3/)*1/= 2.

y = (xsina + ycosa) = 1/*1/ + (– 3/)*1/= - 1.

(.) O (2, - 1) совпадает с (.) О.

3) Найти квадраты её действительной и мнимой полуосей:

Действительная b= 1=1.

Мнимая: a= = 1/5 .

4) Записать общее ур-ефокальной оси: относительно xOy – это прямая, проходящая ч/з

(.) O (2, - 1) с угловым коэф-м k = tga = 1:

y – y = k( x – x)

y + 1= 1*(x – 2), или y – x + 3 = 0.

5) Построить данную гиперболу:

A = ( - a, 0) = ( -1/ , 0), A = (a, 0) = ( 1/ , 0).

B = (0, - b) = (0 , -1), B= (0, 1).

F = ( 0, - c) = (0, - ), F = ( 0, c) = (0, ).

Y

Y

Y X X

O,O F

X

O BB

F

AA