Задание №5:
При каком значении параметра С прямая
3x + y – 2z + 5 = 0
x + y – z + 1 = 0
параллельна плоскости x + 3y +Cz – 2 = 0.
Решение: приведём ур – я прямой к
каноническому виду (x
-x
)/l
= (y - y
)/m
= (z -z
)/n:
И
сключим
из ур – й: 3x + y
– 2z + 5 = 0 , x
+ y – z + 1 = 0
y и z:
2
x
– z + 4 = 0;
x =( z – 4)/2;
x – y +3 = 0; каждое разрешим относительно x: x = (y – 3)/1;
Или x/1= (y – 3)/1 = ( z – 4)/2 , где l = 1, m = 1, n = 2;
Исходя из условия параллельности прямой и плоскости: A*l + B*m + C*n, имеем:
( A = 1, B =3 – из условия): 1*1 + 3*1 + C*2 = 0, 2C = - 4, C = -2.
Ответ: при C = -2.
Задание №6:
Две грани куба лежат на плоскостях 3x + (- 6y) + 2z – 5 = 0 и 3x + (- 6y) + 2z + 30=0. Вычислить объём куба.
Решение:
Задача сводится к нахождению куба расстояния между двумя данными и параллельными
( т.к ,из условия A
/A
= B
/B
= C
/C
= 1.) плоскостями.
Возьмём произвольную (.) на первой плоскости, для чего приведём ур – е к виду в отрезках: x/a +y/b +z/c =1, разделим каждый член на D:
A = - D/A= 5/3, b = - D/B = - 5/6, c = - D/C = 5/2 : 3/5x – 6/5y + 2/5z = 1, где a, b, c – абсцисса, ордината и аппликата точекпересечения с осями координат.
Выберем (.) пересечения плоскости с осью
Oz (0, 0, 5/2) и найдём
расстояние от неё до второй пл – ти: d
=
/
,
где x, y, z
– координаты выбранной (.)
d =
=
=
5.
Длина ребра куба d = 5,
тогда его обьём V = d
=
5
=
125.
Ответ: V = 125.
Задание №7:
Доказать, что уравнение
x
-
4x +6y- 8z
–35 =0
определяет сферу. Найти координаты (x
,
y
,
z
)
её центра и радиус R. В
ответ записать четвёрку чисел (x
,
y
,
z
,R).
Решение: в декартовой системе координат ур-е сферы имеет вид:
(x – a)
+ (y – b)
+(z
– c)
= r
,
где (a, b, c,
) – координаты центра сферы, r
- её радиус.
Преобразуем данное ур-е:
(x
-
4x + 4) + (y
+
6y + 6y) + (z
-
8z + 16) – 29 – 35 = 0
(x – 2)
+
(y + 3)
+
(z – 4)
=
64, откуда центр сферы – (.) О (2, -3, 4) и
радиус R =
=
8.
Ответ: (2, -3, 4, 8).
Задание №8:
Дана кривая: 25x +16y
-
350x + 825 = 0.
1)Доказать, что эта кривая – эллипс: преобразуем данное ур-е:
25x
-
25*14x + 25*49 +16y
-1225
+ 825 = 0
25(x
-
14x + 49) + 16( y – 0)
-
1225 + 825 = 0
25(x – 7)
+
16( y – 0)
=
400. Произведём параллельный перенос
осей, приняв за новое начало координат
(.) О
(7,
0) , тогда x
=
x – 7, y
=
y, и ур-е относит. новых
осей:
25x
+16y
=400,
или
+
=1,
что является ур-ем эллипса.
2)Найти координаты центра его симметрии:
Коорд. центра относительно первоначального
начала координат - (.) О
(7,
0).
3)Найти его большую и малую полуоси:
каноническое ур-е эллипса
+
=1,
где
а и b – большая и малая полуоси, в нашем случае a = 4, b = 5.
4)Записать ур – е фокальной оси: т.к
фокальная ось проходит ч/з (.) О
(7,
0) , её ур-е:
x = 7, или x – 7 = 0
5)Построить данную кривую:
x = 7
b = 5
dbbbbbn
x
b = - 5
